Question

如圖，將拋物線y=x²沿x軸正方向平移3個(gè)單位得到拋物線l，直線y=-2．
（1）求拋物線l的解析式；
（2）點(diǎn)A是拋物線l上一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線y=-2上一點(diǎn)，是否存在等腰△OAB？若存在，求點(diǎn)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）若將上題中的“沿x軸正方向平移3個(gè)單位”改為“沿x軸正方向平移n個(gè)單位”，其它條件不變，探究上題（2）中的問題．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可得出拋物線l的解析式；
（2）存在，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，OA=OB，根據(jù)這一條件和點(diǎn)A在拋物線上的條件便可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）先求出拋物線y=x²沿x軸正方向平移n個(gè)單位后的拋物線的解析式，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)便可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）拋物線y=x²沿x軸正方向平移3個(gè)單位得到拋物線l的解析式為y=（x-3）²；

（2）存在，當(dāng)OA=OB時(shí)，即AB關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，三角形OAB為的等腰三角形，
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-2）則A點(diǎn)坐標(biāo)為A（x，2），
又∵點(diǎn)A是拋物線l上一點(diǎn)，
∴（x-3）²=2，解得x=3+

2

或x=3-

2

，
∴AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3+

2

，2），B（3+

2

，-2）或?yàn)锳（3-

2

，2），B（3-

2

，-2）；

（3）拋物線y=x²沿x軸正方向平移n個(gè)單位得到拋物線l的解析式為y=（x-n）²；
若三角形OAB為的等腰三角形，則OA=OB，即AB關(guān)于x軸對(duì)稱，
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-2）則A點(diǎn)坐標(biāo)為A（x，2），
又∵點(diǎn)A是拋物線l上一點(diǎn)，
∴（x-n）²=2，解得x=n+

2

或x=n-

2

，
∴AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（n+

2

，2），B（n+

2

，-2）或?yàn)锳（n-

2

，2），B（n-

2

，-2）；

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．