Question

長方形ABCD中，AD=10，AB=8，將長方形ABCD折疊，折痕為EF
（1）當(dāng)A′與B重合時（如圖1），EF=

 

；
（2）當(dāng)直線EF過點D時（如圖2），點A的對應(yīng)點A′落在線段BC上，求線段EF的長；
（3）如圖3，點A的對應(yīng)點A′落在線段BC上，E點在線段AB上，同時F點也在線段AD上，則A′B的距離是

 

；

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形直接寫出答案即可解決問題；
（2）根據(jù)勾股定理首先求出A′C的長度；再次利用勾股定理求出AE的長度，即可解決問題．
（3）如圖（3），作輔助線，證明△EBA′∽△A′GF，列出比例式得到關(guān)于有關(guān)線段的方程，解方程即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，當(dāng)A′與B重合時，EF=10；
（2）如圖2，設(shè)AE=x，則BE=8-x；
∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC=AD=10，DC=AB=8；∠B=∠C=90°；
由題意得：A′D=AD=10；
由勾股定理得：
A′C²=A′D²-DC²=100-64=36，
∴A′C=6，BA′=10-6=4；
在直角△A′BE中，由勾股定理得：
x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
由勾股定理得：EF²=10²+5²=125，
∴EF=5

5

．
（3）如圖3，過點F作FG⊥BC于點G；
設(shè)AE=x．，AF=y；
由題意得：
A′E=AE=x，A′F=AF=y，BG=AF=y；
則BE=8-x，A′B=

x2-(8-x)2

=

16x-64

，
∴A′G=y-

16x-64

；
由題意知：∠B=∠EA′F=∠A′GF=90°，
∴∠BEA′+∠BA′E=∠BA′E+∠FA′G，
∴∠BEA′=∠FA′G，而∠B=∠A′GF，
∴△EBA′∽△A′GF，
∴CE=

CA•CB

CD

；
∴

BE

A′G

=

BA′

GF

=

EA′

A′F

，
即

8-x

y- 16x-64

=

16x-64

8

=

x

y

，
解該方程得：x=5，y=10，
∴A′B=

16×5-64

=

16

=4，
即A′B的距離是4．

點評：該命題主要考查了翻折變換及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)準(zhǔn)確找出命題圖形中隱含的等量關(guān)系，靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．