Question

已知點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠PBC=45°，∠PCB=30°，在BC同側(cè)分別以AB為邊作正方形ABDE，以AC為邊作等邊△ACF，連接PD、PF，求證：PD=PF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，作△PBC關(guān)于BC的軸對(duì)稱圖形△BQC，連接AQ，由軸對(duì)稱性質(zhì)得到兩對(duì)角相等，兩對(duì)邊相等，利用等式的性質(zhì)得到∠PBQ=∠ABD=90°，∠PCQ=∠ACF=60°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABQ與三角形DPB全等，同理得到三角形ABQ與三角形FCP全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到QA=PD，QA=PF，等量代換即可得證．

解答：證明：如圖，作△PBC關(guān)于BC的軸對(duì)稱圖形△BQC，連接AQ，
由軸對(duì)稱性質(zhì)得：∠QBC=∠PBC=45°，∠QCB=∠PCB=30°，BQ=BP，CQ=CP，
∴∠PBQ=∠ABD=90°，∠PCQ=∠ACF=60°，
∴∠PBQ+∠ABP=∠ABD+∠ABP，即∠QBA=∠PBD，
∠PCQ+∠ACP=∠ACF+∠ACP，即∠QCA=∠PCF，
在△ABQ和△DBP中，

AB=DB ∠QBA=∠PBD BQ=BP

，
∴△ABQ≌△DBP（SAS），
同理△ACQ≌△FCP（SAS），
∴QA=PD，QA=PF，
則PD=PF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．