Question

如圖，已知Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，P是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，連EF，D為BC邊上中點(diǎn)
（1）求斜邊BC的長(zhǎng)．
（2）判斷DE和DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．
（3）求四邊形AEDF的面積．
（4）探究線段EF的最小值，并求出EF的最小值，請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，由勾股定理得：BC==2．

（2）DE=DF，DE⊥DF，
理由是：∵D為BC邊上中點(diǎn)，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=BC=BD，∠CAD=∠ABC=45°，
即∠FAD=∠EBD=45°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA=∠AFP=∠BAC=∠EAF=90°，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴AF=PE，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=90°，
∵∠B=45°
∴在等腰直角三角形BPE中：PE=BE=AF，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF．，∠BDE=∠ADF，
∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF，

（3）∵△BDE≌△ADF，
∴S_△BDE=S_△ADF，
∵S_{四邊形AEDF}
=S△_△ADF++S_△ADE
=S_△BDE+S_△ADE
=S_△ADB
=S_△ABC
=×AB×AC
=××2×2
=2．

（4）EF的最小值是，
理由是：∵AE+AF=AE+BE=AC=2，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，
EF²=AE²+（2-AE）²=2（AE-1）²+2，
即當(dāng)AE=1時(shí)，EF²的最小值是2，
即EF的最小值是．
分析：（1）根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）證△BDE≌△ADF，推出DE=DF，∠BDE=∠ADF，即可求出∠EDF=90°；
（3）求出四邊形AEDF的面積=三角形ADB的面積，根據(jù)面積公式求出即可；
（4）求出AE+AF=2，根據(jù)勾股定理求出EF的平方的最小值是2，即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線，二次函數(shù)的最值，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．