Question

已知頂點(diǎn)C為拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊）和拋物線上的一點(diǎn)P（在對(duì)稱軸的右側(cè)）構(gòu)成Rt△，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

；現(xiàn)將題中的拋物線向左或向右平移t個(gè)單位長度（0＜t＜

5

2

），點(diǎn)P、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為P′、C′，當(dāng)依次首尾相連接A、B、P′、C′四點(diǎn)構(gòu)成的多邊形周長最小時(shí)，t的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：點(diǎn)P在以AB為直徑的圓與拋物線的交點(diǎn)；左右平移時(shí)，使A′D+DB″最短即可，那么作出點(diǎn)C′關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為C″，得到直線P″C″的解析式，然后把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可．

解答：解：①∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x+1）（x-4），
∴A（-1，0）、B（4，0）．
如圖1，以AB為直徑作圓M，則拋物線與圓的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，
∴M（

3

2

，0），⊙M的半徑=

5

2

．

∴OP=

MP2-OM2

=2，
又∵P是拋物線與y軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)（0，-2）符合題意，
根據(jù)拋物線與圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)（3，-2）也符合題意．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，-2）和（3，-2）．

②拋物線向左或向右平移，因?yàn)锳B、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長最短，只要AC′+BP′最�。�
第一種情況：拋物線向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，
第二種情況：向左平移，如圖2所示，由（2）可知P（3，-2），

又∵C（

3

2

，-

25

8

）
∴C'（

3

2

-t，-

25

8

），P'（3-t，-2），
∵AB=5，
∴P″（-2-t，-2），
要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可，
點(diǎn)C′關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C″（

3

2

-t，

25

8

），
設(shè)直線P″C″的解析式為：y=kx+b，

-2=(-2-t)k+b 25 8 =( 3 2 -t)k+b

，
解得

k= 41 28 b= 41 28 t+ 13 14

∴直線y=

41

28

x+

41

18

t+

13

14

，
點(diǎn)A在直線上，
∴-

41

28

+

41

28

t+

13

14

=0
∴t=

15

41

．
故將拋物線向左平移

15

41

個(gè)單位連接A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長最短．
故答案是：（0，-2）和（3，-2）；

15

41

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的對(duì)稱性，以及距離之和最小的問題，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．