Question

（2013•崇明縣一模）如圖，△ABC是等邊三角形，且AD•ED=BD•CD．
（1）求證：△ABD∽△CED；
（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由AD•ED=BD•CD可知

AD

CD

=

BD

DE

，再根據(jù)∠ADB=∠CDE即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，由（1）知△ABD∽△CED，再根據(jù)AB=6，AD=2CD可得出DE：BD=1：2，再根據(jù)△ABC是等邊三角形可求出AD的長(zhǎng)∠A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF及AF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出BF的長(zhǎng)，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理可求出BD的長(zhǎng)，設(shè)DE=x，則BD=2x，可求出x的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵AD•ED=BD•CD，
∴

AD

CD

=

BD

DE

，
∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；

（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，
∵△ABC是等邊三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，
∴

CD

AD

=

DE

BD

=

1

2

，
∴AD=

2

3

×6=4，CD=2，∠A=60°，
∴DF=AD•sinA=4×

3

2

=2

3

，AF=AD•cosA=4×

1

2

=2，
∴BF=AB-AF=6-2=4，
在Rt△ADF中，
∵BF=4，DF=2

3

，
∴BD=

BF2+DF2

=

42+(2 3 )2

=2

7

，
∵

CD

AD

=

DE

BD

=

1

2

，
∴設(shè)DE=x，則BD=2x，
∴2x=2

7

，解得x=

7

，
∴BE=BD+DE=2x+x=3x=3

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，難度適中．