4.如圖,△ABC中,D是BC上一點(diǎn),∠DAC=∠B,E為AB上一點(diǎn).
(1)求證:△CAD∽△CBA;
(2)若BD=10,DC=8,求AC的長(zhǎng);
(3)在(2)的條件下,若DE∥AC,AE=4,求BE的長(zhǎng).

分析 (1)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似,據(jù)此判斷△CAD∽△CBA即可;
(2)根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,得出AC2=CD×CB,再根據(jù)BD=10,DC=8,求得AC的長(zhǎng)即可;
(3)根據(jù)平行線分線段成比例定理,由DE∥AC,得出$\frac{BE}{EA}$=$\frac{BD}{DC}$,再根據(jù)BD=10,DC=8,AE=4,求得BE=5即可.

解答 解:(1)∵在△CAD和△CBA中,
∠DAC=∠B,∠ACD=∠BCA,
∴△CAD∽△CBA;

(2)∵△CAD∽△CBA,
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CA}{BC}$,即AC2=CD×CB,
又∵BD=10,DC=8,
∴AC2=8×18=144,
∴AC=±12,
又∵AC>0,
∴AC=12;   

(3)∵DE∥AC,
∴$\frac{BE}{EA}$=$\frac{BD}{DC}$,
又∵BD=10,DC=8,AE=4,
∴$\frac{BE}{4}$=$\frac{10}{8}$,
∴BE=5.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),平行線分線段成比例定理的綜合應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法.在判定兩個(gè)三角形相似時(shí),應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件,以充分發(fā)揮基本圖形的作用,尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形.解題時(shí)注意:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

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