Question

（2009•同安區(qū)質(zhì)檢）如圖，直線AB過點(diǎn)A（m，0）、B（0，n）（其中m＞0，n＞0）．反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象與直線AB交于C、D兩點(diǎn)，連接OC、OD．
（1）已知m+n=10，△AOB的面積為S，問：當(dāng)n何值時(shí)，S取最大值？并求這個(gè)最大值．
（2）當(dāng)△AOC、△COD、△DOB的面積都相等時(shí)，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得：OA=m，OB=n，又由m+n=10，得m=10-n，進(jìn)而可得S關(guān)于m、n的關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得答案；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意，可得關(guān)于k、b的關(guān)系式，過點(diǎn)D、C分別作x軸的垂線，垂足分別點(diǎn)E、F，由△AOC、△COD、△DOB的面積都相等，可得關(guān)系式，解可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得：OA=m，OB=n，
所以S=

1

2

mn，
又由m+n=10，得m=10-n，
得：S=

1

2

n（10-n）=-

1

2

n²+5n，
=-

1

2

（n-5）²+

25

2

，
∵-

1

2

＜0，
∴當(dāng)n=5時(shí)，S取最大值

25

2

．  

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意，得：

mk+b=0 b=n

，
解得：k=-

n

m

，b=n，
所以直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=-

n

m

x+n．       
過點(diǎn)D、C分別作x軸的垂線，垂足分別點(diǎn)E、F，
當(dāng)△AOC、△COD、△DOB的面積都相等時(shí)，
有S_△AOC=

1

3

S_△AOB，即

1

2

OA×CF=

1

3

×

1

2

OA×OB，
所以CF=

1

3

OB=

1

3

n．                           
即C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

1

3

n．
將y=

1

3

n代入y=

m

x

，得x=

3m

n

．              
將x=

3m

n

、y=

1

3

n代入直線的函數(shù)關(guān)系式y=-

n

m

x+n，
得

1

3

n=-3+n，
所以n=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)以及其與直線的關(guān)系，利用形數(shù)結(jié)合解決此類問題，是非常有效的方法．