Question

試求滿(mǎn)足下列條件的三元陣列（a，b，c）．
（1）a＜b＜c＜100，a、b、c為質(zhì)數(shù)；
（2）a+1、b+1、c+1組成等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：質(zhì)數(shù)與合數(shù)

專(zhuān)題：

分析：由a+1、b+1、c+1組成等比數(shù)列得出（a+1）（c+1）=（b+1）²，進(jìn)一步利用平方的性質(zhì)和整除的性質(zhì)分別探討得出答案即可．

解答：解：根據(jù)條件可得，（a+1）（c+1）=（b+1）²（1），
設(shè)a+1=n²x，c+1=m²y，其中x、y不含大于1的平方因子，則必有x=y，這是由于（mn）²xy=（b+1）²（2），
則mn|（b+1），設(shè)b+1=mn•w，于是（2）化為，xy=w²（3），
若w＞1，則有質(zhì)數(shù)p₁|w，即

p

2 1

|w2，因x、y皆不含大于1的平方因子，因此p₁|x，p₁|y．
設(shè)x=p₁x₁，y=p₁y₁，w=p₁w₁，則（3）化為x₁y₁=

w

2 1

（4），
若仍有w₁＞1，則又有質(zhì)數(shù)p₂|w₁，即

p

2 2

|

w

2 1

，因x₁，y₁皆不含大于1的平方因子，則p₂|x₁，p₂|y₁，
設(shè)x₁=p₂x₂，y₁=p₂y₂，w₁=p₂w₂，則（4）化為x2y2=

w

2 2

，…，如此下去，因（3）式中w的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)有限，
故有r，使w_r=1，而從xryr=

w

2 r

，
得，x_r=y_r=1，從而x=p₁p₂…p_r=y，改記x=y=k，
則有，

a=kn2-1 b=kmn-1 c=km2-1

（5），
其中1≤n＜m，a＜b＜c＜100 （6），
k無(wú)大于1的平方因子，并且k≠1，否則若k=1，則c=m²-1，
∵c大于第三個(gè)質(zhì)數(shù)5，
即c=m²-1＞5，m≥3，得c=m²-1=（m-1）（m+1）為合數(shù)，矛盾．
因此k或?yàn)橘|(zhì)數(shù)，或?yàn)槿舾蓚�(gè)互異質(zhì)數(shù)之乘積，（即k大于1，且無(wú)大于1的平方因子）．
我們將其簡(jiǎn)稱(chēng)為“k具有性質(zhì)p”．
（1）據(jù)（6），m≥2（2）．
當(dāng)m=2，則n=1，有

a=k-1 b=2k-1 c=4k-1

，因c＜100，得k＜25；
若k≡1（bmod3），則3|c且c＞3，得c為合數(shù)；
若k≡2（bmod3）：
在k為偶數(shù)時(shí)，具有性質(zhì)p的k有2、14，分別給出a=2-1=1，b=2•14-1=27不為質(zhì)數(shù)；
k為奇數(shù)時(shí)，具有性質(zhì)p的k值有5、11、17、23，分別給出的a=k-1皆不為質(zhì)數(shù)；
若k≡0（bmod3），具有性質(zhì)p的k值有3、6、15、21：
當(dāng)k=3時(shí)，給出解f₁=（a，b，c）=（2，5，11）；
當(dāng)k=6時(shí)，給出解f₂=（a，b，c）=（5，11，23）；
當(dāng)k=15、21時(shí)，分別給出的a=k-1皆不為質(zhì)數(shù)；
若m=3，則n=2或1．
在m=3、n=2時(shí)，

a=4k-1 b=6k-1 c=9k-1

，因質(zhì)數(shù)c≤97，得k≤10，具有性質(zhì)p的k值有2、3、5、6、7、10：
在k為奇數(shù)3、5、7時(shí)，給出c=9k-1皆為合數(shù)；
在k=6時(shí)，給出b=6k-1=35為合數(shù)；
在k=10時(shí)，給出a=4k-1=39為合數(shù)；
在k=2時(shí)，給出解f₃=（a，b，c）=（7，11，17）；
在m=3、n=1時(shí)，

a=4k-1 b=6k-1 c=9k-1

，k≤10，具有性質(zhì)p的k值有2、3、5、6、7、10：
在k為奇數(shù)3、5、7時(shí)，給出的b=3k-1皆為合數(shù)；
在k=2和10時(shí)，給出的a=k-1不為質(zhì)數(shù)；
在k=6時(shí)，給出解f₄=（a，b，c）=（5，17，53）；
（3）m=4時(shí)，由c=16k-1≤97（4）得k≤6（5），具有性質(zhì)p的k值有2、3、5、6．
在k=6時(shí)，c=16×6-1=95為合數(shù)；
在k=5時(shí)，

a=5n2-1 b=20n-1

，因n＜m=4，則n可取1、2、3，分別得到a、b至少一個(gè)不為質(zhì)數(shù)；
在k=3時(shí)，c=48-1=47，

a=3n2-1 b=12n-1

，因n＜m=4：
在n=3時(shí)給出的a、b為合數(shù)；
在n=2時(shí)給出解f₅=（a，b，c）=（11，23，47）；
在n=1時(shí)給出解f₆=（a，b，c）=（2，11，47）；
在k=2時(shí)，c=16k-1=31，

a=2n2-1 b=8n-1

，n＜m=4，只有在n=3時(shí)給出解f₇=（a，b，c）=（17，23，31）；
（6）m=5時(shí)，c=25k-1≤97（7），具有性質(zhì)p的k值有2、3，分別給出c=25k-1（8）為合數(shù)；
（9）m=6時(shí)，c=36k-1≤97（10），具有性質(zhì)p的k值只有2，因此可以得到c=2×36-1=71（11），
這時(shí)

(12)a=2n2-1 (13)b=12n-1(14)

（15），n＜m=6（16），只有在n=2時(shí)給出解f₈=（a，b，c）=（7，23，71）（17）；
在n=4時(shí)給出解f₉=（a，b，c）=（31，47，71）（18）；
（19）m=7時(shí)，c=49k-1≤97（20），具有性質(zhì)p的k值只有2得c=2×49-1=97（21），
而n＜m=7（22），

(23)a=2n2-1 (24)b=14n-1(25)

（26），
只有在n=3時(shí)給出解f₁₀=（a，b，c）=（17，41，97）（27）；
在n=6時(shí)給出解f₁₁=（a，b，c）=（71，83，97）（28）；
（29）m≥8（30）時(shí)，c=64k-1≤97（31），具有性質(zhì)p的k值不存在．
因此，滿(mǎn)足條件的解共有11組，即為上述的f₁，f₂，…，f₁₁．

點(diǎn)評(píng)：此題考查質(zhì)數(shù)的特征以及等比數(shù)列的性質(zhì)，是一道綜合性很強(qiáng)的題目．