Question

如圖，已知△ABC，AC=BC=4，O是AB的中點，⊙O分別與AC、BC相切于點M、N，與AB交于E、F，連ME并延長交BD的延長線于D，∠1=∠2．
（1）求證：∠C=90°；
（2）設(shè)圖中陰影部分的面積分別為S₁、S₂，求

S1

S2

的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：（1）首先連接OM，ON，由⊙O分別與AC、BC相切于點M、N，∠1=∠2，易得OM∥BC，則可得：∠C=90°；
（2）易證得四邊形OMCN是正方形，繼而求得S₁，S₂的值．

解答：（1）證明：連接OM，ON，
∵⊙O分別與AC、BC相切于點M、N，
∴OM⊥AC，ON⊥BC，
∵OE=OM，
∴∠OME=∠OEM，
∵∠1=∠2，∠2=∠OEM，
∴∠OME=∠1，
∴OM∥BC，
∴BC⊥AC，
∴∠C=90°；

（2）解：∵O是AB的中點，
∵OM⊥AC，ON⊥BC，
∴∠ONC=∠OMC=∠C=90°，
∴四邊形OMCN是矩形，
∵OM=ON，
∴四邊形OMNC是正方形，
∴△AOM是等腰直角三角形，
∴AM=OM=2，
∴S₁=S_{正方形ONCM}-S_扇形OMN=2×2-

90

360

×π×2²=4-π；
S₂=S_△AOM-S_扇形FOM=

1

2

×2×2-

45

360

×π×2²=2-

π

2

；
∴

S1

S2

=

4-π

2- π 2

=2．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．