Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于點F，AD⊥BC于點D，交BG于點E，連接EF．
（1）求證：①AE=AG；②四邊形AEFG為菱形．
（2）若AD=8，BD=6，求AE的長．

Answer 1

證明：（1）①∵BG平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
∵∠ABE+∠AGE=90°，∠EBD+∠DEB=90°，∠GEA=∠BED，
∴∠AEG=∠EGA，
即AG=AE．
②∵GF⊥BC于點F，AD⊥BC于點D，BG平分∠ABC，
∴∠CFG=∠CDA=90°
∴AD∥GF，AG=GF，
又∵AG=AE，
∴AE=GF，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，
∴GF=AE，AG=EF
∵AG=AE
∴AG=GF=AE=EF
∴四邊形AEFG為菱形
（2）由題意可知，在Rt△ABD中，AD=8，BD=6，
所以根據勾股定理得：AB=10，
因為∠CAB=∠ADB=90°，∠ABD=∠CBA（公共角），
所以△ABC∽△DBA，
故可求出AC=，BC=，
在△ADC中，設AG=GF=x，
由平行線分線段成比例可得x：AD=CG：AC，
即x：8=：，
解之得x=5，
所以AE的長為5．
分析：（1）求證AE=AG，只需證明在△AGE中，∠AEG=∠EGA即可，證明四邊形AEFG為菱形，先證明其為平行四邊形，然后再證明其為菱形．
（2）利用相似三角形求出對應邊的長，再用平行線分線段成比例求出題中所求即可．
點評：熟練掌握菱形的性質及判定定理，掌握角平分線的性質及相似三角形的性質．