Question

（10分）若△ABC和△ADE均為等邊三角形，M、N分別是BE、CD的中點(diǎn)．

(1)當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時(shí)，求證：CD=BE，△AMN是等邊三角形；

(2) 如圖②，當(dāng)∠EAB=30°，AB＝12，AD=時(shí)，求AM的長(zhǎng)．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°.

∵∠BAE=∠BAC-∠EAC，∠DAC=∠EAD-∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC.

∴△ABE≌△ACD.

∴CD=BE.    ……………………………………………………………………1分

∠ABE=∠ACD．

∵M(jìn)、N分別是BE、CD的中點(diǎn)，

  即BM=BE，CN=CD.

∴BM= CN.

又AB=AC，

∴△ABM≌△ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．  ………………………………………………2分

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°．

∴△AMN是等邊三角形．    …………………………………………………3分

（2）解：作EF⊥AB于點(diǎn)F，

在Rt△AEF中，

∵∠EAB=30°，AE=AD=，

∴EF=.     …………………………………………………………………4分

∵M(jìn)是BE中點(diǎn)，

作MH⊥AB于點(diǎn)H，

∴MH∥EF，MH=EF=.    ……………………………………………5分

取AB中點(diǎn)P，連接MP，則MP∥AE，MP=AE.

∴∠MPH=30°，MP=．

∴在Rt△MPH中，PH=.

∴AH=AP+PH=.    .………………………………………………………6分

在Rt△AMH中，AM=.  .…………………………7分

 

 

【解析】略