Question

如圖，?ABCD的頂點A、C、D都在⊙O上，AB與⊙O相切于點A，設(shè)∠OCD=α，∠BAD=β．
（1）若α=50°，求β的值；
（2）試探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并求出OE∥AB時α的值．

Answer 1

解：（1）延長AO交CD于F，
∵AB與⊙O相切于點A，
∴OA⊥AB，
由?ABCD可知AB∥CD，
∴AF⊥CD，
而OC=OD=OA，
∴∠OCD=∠ODC，∠OAD=∠ODA，
∵∠OCD=α=50°，
∴∠COF=∠DOF=40°，
∴∠OAD=∠ODA=20°，
即∠BAD=β=90°+20°=110°；

（2）α與β之間的數(shù)量關(guān)系為：β+α=135°，
連接OE，
∵∠OCD=∠ODC，OF⊥CD，
∴∠COF=∠DOF=90°-α，
∵∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD=（90°-α），
∴β=90°+（90°-α）=135°-，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
故當OE∥AB時，∠B=∠OCE，
由?ABCD可知∠BCD=∠BAD=β，∠B+∠BAD=180°，
∴∠BCD=∠OCE+α=β，即β=180°-β+α，2β=180°+α，
再由β=135°-，可求得α=45°．
故所求α=45°．
分析：（1）延長AO交CD于F，利用已知條件和平行四邊形的性質(zhì)可證明：∠OCD=∠ODC，∠OAD=∠ODA，進一步得到∠COF=∠DOF=40°，再利用圓周角定理可得∠BAD=β=90°+20°=110°；
（2）α與β之間的數(shù)量關(guān)系為：β+α=135°，連接OE，由?ABCD可知∠BCD=∠BAD=β，∠B+∠BAD=180°，所以∠BCD=∠OCE+α=β，即β=180°-β+α，整理得：2β=180°+α，再利用已知關(guān)系式求出OE∥AB時α的值即可．
點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，還考查了學(xué)生的探究的能力，題目的難度不小．