Question

如圖，矩形AOBC的頂點O在坐標原點，邊OB、OA分別在x、y軸的正半軸上，且OA=6個單位長度，OB=10個單位長度．射線y=

3

4

x（x≥0）交線段AC于點D，點P從O點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿O→A→D→O的路線勻速運動；與此同時，點Q從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿O→B→C的路線勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動．設運動時間為t秒，△POQ的面積為S．
（1）線段AD=

 

；線段DO=

 

；
（2）分別求0≤t＜3及7≤t＜10時，S與t的函數(shù)關系式；
（3）求△POQ的面積S等于梯形DCBO面積一半時t的值；
（4）在運動的全過程中，是否存在t的值，使△POQ為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（備用圖）

Answer 1

分析：（1）設點D的坐標為（x，6），∵點D在y=

3

4

x上，∴x=8，即AD=8，利用勾股定理可求得OD=10．
（2）0≤t＜3時，P在AO上，Q在OB上．此時△POQ為直角三角形，兩直角邊分別為t，2t；易求得面積．7≤t＜10時，P在DO上，Q在OB上，易求得OQ為t•OP的長度，利用∠POM=∠ADO的正切值即可求得OQ邊上的高PM．
（3）易求得梯形BCDO的面積為36．那么讓△POQ的面積等于18，應分P在AO上，Q在BO上；P在AD上，Q在OB上；P在DO上，Q在CB上．P在DO上，Q在BC上等情況分析．
（4）P在AO上，Q在BO上，此時為直角三角形，兩直角邊的邊長不可能相等，不存在為等腰三角形的形式．P在AD上，Q在OB上，PO=PQ，此時，AP的長度等于OQ的一半．PQ=OQ，可得到t的另一值．P在DO上，Q在CB上可利用PO=OQ得到t的值，PQ=OP．此時OM=MQ．P在DO上，Q在BC上△POQ是鈍角三角形，不存在等腰三角形的情況．

解答：解：（1）AD=8，OD=10（2分）

（2）當0≤t＜3時，S=t²；（4分）
當7≤t＜10時，PO=24-2t，
PM=

3

5

（24-2t），
S=-

3

5

t2+

36

5

t
=-

3

5

(t-6)2+

108

5

（6分）


（3）當3≤t＜7時，S=3t；
當10≤t≤12時，PQ=24-2t，CD=2，CE=

3

2

，BE=

15

2

，
BQ=t-10，EQ=

35

2

-t，NQ=

4

5

（

35

2

-t），
S=

2

5

（12-t）（35-2t）
=

4

5

t2-

118

5

t+168
=

4

5

(t-

59

4

)2-

121

20

3t=18，t=6，
-

3

5

t2+

36

5

t=18，t=6+

6

，t=6-

6

＜7（舍）．（8分）

（4）PO=PQ，2t-6=

t

2

，
t=4
PQ²=t²-12t+72，PQ²=OQ²，t=6
PO=24-2t，PO=OQ，t=8
OM=

t

2

，

4

5

（24-2t）=

t

2

，
t=

64

7

．（10分）
另：

點評：本題考查運動過程中形成一定的面積和一定的形狀，注意分多種情況進行分析．