Question

【題目】溫州某企業(yè)安排65名工人生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)2件甲或1件乙，甲產(chǎn)品每件可獲利15元．根據(jù)市場需求和生產(chǎn)經(jīng)驗，乙產(chǎn)品每天產(chǎn)量不少于5件，當(dāng)每天生產(chǎn)5件時，每件可獲利120元，每增加1件，當(dāng)天平均每件獲利減少2元．設(shè)每天安排x人生產(chǎn)乙產(chǎn)品．

（1）根據(jù)信息填表

產(chǎn)品種類	每天工人數(shù)（人）	每天產(chǎn)量（件）	每件產(chǎn)品可獲利潤（元）
甲			15
乙

（2）若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤多550元，求每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤．

（3）該企業(yè)在不增加工人的情況下，增加生產(chǎn)丙產(chǎn)品，要求每天甲、丙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量相等．已知每人每天可生產(chǎn)1件丙（每人每天只能生產(chǎn)一件產(chǎn)品），丙產(chǎn)品每件可獲利30元，求每天生產(chǎn)三種產(chǎn)品可獲得的總利潤W（元）的最大值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

【答案】（1）填表見解析；（2）每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤是110元；（3）安排26人生產(chǎn)乙產(chǎn)品時，可獲得的最大總利潤為3198元.

【解析】分析: （1）設(shè)每天安排 x 人生產(chǎn)乙產(chǎn)品，則每天安排（65-x）人生產(chǎn)甲產(chǎn)品，每天可生產(chǎn)甲產(chǎn)品2（65-x）件，每件乙產(chǎn)品可獲利(130-2x)元；

（2）每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤為：15×2（65-x）元，每天生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤x（130-2x）元，根據(jù)若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤多550元，列出方程，求解并檢驗即可得出答案；

（3）設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品m人，每天生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤x（130-2x）元，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤為：15×2m元,每天生產(chǎn)丙產(chǎn)品可獲得的利潤為：30（65-x-m）元，每天生產(chǎn)三種產(chǎn)品可獲得的總利潤W=每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤+每天生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤+每天生產(chǎn)丙產(chǎn)品可獲得的利潤，即可列出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并配成頂點式，然后由每天甲、丙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量相等得出2m=65-x-m，從而得出用含x的式子表示m，再根據(jù)x，m都是非負(fù)整數(shù)得出取x=26時，此時m=13，65-x-m=26，從而得出答案

詳解:

（1）

產(chǎn)品種類	每天工人數(shù)（人）	每天產(chǎn)量（件）	每件產(chǎn)品可獲利潤（元）
甲	65-x	2（65-x）	15
乙			130-2x

（2）解：由題意得15×2（65-x）=x（130-2x）+550

∴x2-80x+700=0

解得x1=10，x2=70（不合題意，舍去）

∴130-2x=110（元）

答：每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤是110元。

（3）解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品m人

W=x（130-2x）+15×2m+30（65-x-m）=-2x2+100x+1950=-2（x-25）2+3200

∵2m=65-x-m

∴m=

∵x，m都是非負(fù)整數(shù)

∴取x=26時，此時m=13，65-x-m=26，

即當(dāng)x=26時，W最大值=3198（元）

答：安排26人生產(chǎn)乙產(chǎn)品時，可獲得的最大總利潤為3198元。