Question

如圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為AD邊上的一點（不與點A、點D重合），將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，聯(lián)結BP、BH．
（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）求證：AP+HC=PH；
（3）當AP=1時，求PH的長．

Answer 1

分析：（1）根據翻折變換的性質得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先證明△ABP≌△QBP，進而得出△BCH≌△BQH，即可得出AP+HC=PH；
（3）設QH=HC=x，則DH=4-x．在Rt△PDH中，根據勾股定理列出關于x的方程求解即可．

解答：（1）證明：∵PE=BE，
∴∠EPB=∠EBP，
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠BPH=∠PBC．
又∵四邊形ABCD為正方形
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．

（2）證明：過B作BQ⊥PH，垂足為Q，
由（1）知，∠APB=∠BPH，
在△ABP與△QBP中，

∠A=∠BQP=90° ∠APB=∠BPH BP=BP

，
∴△ABP≌△QBP（AAS），
∴AP=QP，BA=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，
∴△BCH和△BQH是直角三角形，
在Rt△BCH與Rt△BQH中，

BC=BQ BH=BH

∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），
∴CH=QH，
∴AP+HC=PH．

（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，
∴PD=3．
設QH=HC=x，則DH=4-x．
在Rt△PDH中，PD²+DH²=PH²，
即3²+（4-x）²=（x+1）²，
解得x=2.4，
∴PH=3.4．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質以及全等三角形的判定與性質和勾股定理等知識，熟練利用全等三角形的判定得出對應相等關系是解題關鍵．