【題目】如圖,拋物線的開口向下,與x軸交于點A(﹣3,0)和點B(1,0).與y軸交于點C,頂點為D.

(1)求頂點D的坐標(biāo).(用含a的代數(shù)式表示);

(2)若ACD的面積為3.

求拋物線的解析式;

將拋物線向右平移,使得平移后的拋物線與原拋物線交于點P,且PAB=DAC,求平移后拋物線的解析式.

【答案】(1)D(﹣1,4a;(2)

【解析】

試題分析:

(1)已知拋物線與x軸的兩交點的橫坐標(biāo)分別是﹣3和1,設(shè)拋物線解析式的交點式,再配方為頂點式,可確定頂點坐標(biāo)。

(2)設(shè)AC與拋物線對稱軸的交點為E,先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,求出點E的坐標(biāo),即可得到DE的長,然后由SACD=×DE×OA列出方程,解方程求出a的值,即可確定拋物線的解析式.

先運用勾股定理的逆定理判斷出在ACD中ACD=90°,利用三角函數(shù)求出tanDAC=.設(shè)拋物線向右平移后的拋物線解析式為,兩條拋物線交于點P,直線AP與y軸交于點F.根據(jù)正切函數(shù)的定義求出OF=1.分兩種情況進(jìn)行討論:

)如圖2,F(xiàn)點的坐標(biāo)為(0,1),()如圖2,F(xiàn)點的坐標(biāo)為(0,﹣1).

針對這兩種情況,都可以先求出點P的坐標(biāo),再得出m的值,進(jìn)而求出平移后拋物線的解析式. 

試題析:

解:(1)拋物線x軸交于點A(﹣3,0)和點B(1,0),

拋物線解析式為

,

頂點D的坐標(biāo)為(﹣1,﹣4a.

(2)如圖1,設(shè)AC與拋物線對稱軸的交點為E,

拋物線與y軸交于點C,

C點坐標(biāo)為(0,﹣3a.

設(shè)直線AC的解析式為:

則:,解得:.

直線AC的解析式為:.

點E的坐標(biāo)為:(﹣1,﹣2a.DE=﹣4a﹣(﹣2a)=﹣2a.

.

3a=3,解得a=﹣1.

拋物線的解析式為.

②∵頂點D的坐標(biāo)為(﹣1,4),C(0,3).

A(﹣3,0),

AD2=(﹣1+3)2+(4﹣0)2=20,CD2=(﹣1﹣0)2+(4﹣3)2=2,

AC2=(0+3)2+(3﹣0)2=18.

AD2=CD2+AC2。∴∠ACD=90°.

.

∵∠PAB=DAC,tanPAB=tanDAC=.

如圖2,設(shè)向右平移后的拋物線解析式為,兩條拋物線交于點P,直線AP與y軸交于點F,

OF=1,則F點的坐標(biāo)為(0,1)或(0,﹣1).

分兩種情況:

)如圖2,當(dāng)F點的坐標(biāo)為(0,1)時,易求直線AF的解析式為,

解得,,(舍去).

P點坐標(biāo)為(,)。

將P點坐標(biāo)(,)代入

,解得,(舍去).

平移后拋物線的解析式為.

)如圖2,當(dāng)F點的坐標(biāo)為(0,﹣1)時,易求直線AF的解析式為.

,解得:,(舍去).

P點坐標(biāo)為(,.

將P點坐標(biāo)()代入,

,解得,(舍去).

平移后拋物線的解析式為.

綜上可知,平移后拋物線的解析式為.

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