Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB分別是關(guān)于x的方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根（OA＜OB）
（1）求直線AB的解析式；
（2）線段AB上一點(diǎn)C使得S_△ACO：S_△BCO=1：2，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，y軸上是否存在一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A、C、O、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）解：x²-7x+12=0，
x₁=3，x₂=4，
∵OA＜OB，
∴OA=3，OB=4，
∴A（-3，0），B（0，4），
設(shè)直線AB的解析式是：y=kx+b，
把A（-3，0）、B（0，4）代入得：，
解得：，
∴直線AB的解析式是y=x+4．

（2）解：∵△ACO邊AC上的高和△BCO邊BC上的高相等，
∵S_△ACO：S_△BCO=1：2，
∴=，
過C作CE⊥y軸于E，CF⊥x軸于F，
∴CE∥x軸，CF∥y軸，
∴==，
∵OA=3，
∴CE=2，
同理CF=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-2，）．

（3）解：存在，
理由是：∵AC和DO相交，
分為兩種情況：①如圖所示：當(dāng)CD∥OA，即D在E處時(shí)，四邊形AODC是梯形，
D的坐標(biāo)是（0，）；
②如圖所示：當(dāng)D在y軸的負(fù)半軸上D′處時(shí)，OC∥AD，
∴=，
即=，
∴OD=2，
D的坐標(biāo)是（0，-2），
答：在（2）的條件下，y軸上存在一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A、C、O、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，）或（0，-2）．
分析：（1）求出一元二次方程的解，得出OA、OB的值，求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是：y=kx+b，把A（-3，0）、B（0，4）代入得出方程組，求出方程組的解即可；
（2）根據(jù)△ACO邊AC上的高和△BCO邊BC上的高相等和已知求出=，C作CE⊥y軸于E，CF⊥x軸于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出CE、CF的值，即可得出C的坐標(biāo)；
（3）分為兩種情況：①當(dāng)CD∥OA，即D在E處時(shí)，根據(jù)E的坐標(biāo)即可求出的坐標(biāo)；②當(dāng)D在y軸的負(fù)半軸上D′處時(shí)，得出=，求出OD的值，即可得出D的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形、平行線分線段成比例定理，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力，題目綜合性比較強(qiáng)，是一道具有代表性的題目，分類討論思想的靈活運(yùn)用．