Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3，6），點(diǎn)B，點(diǎn)C分別在x軸的負(fù)半軸和正半軸上，OB，OC的長分別是方程x²-4x+3=0的兩根（OB＜OC）．
（1）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q和點(diǎn)P（點(diǎn)P在直線AC上），使以O(shè)、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若平面內(nèi)有M（1，-2），D為線段OC上一點(diǎn)，且滿足∠DMC=∠BAC，∠MCD=45°，求直線AD的解析式．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-4x+3=0就可以求出x的值，即B，C的橫坐標(biāo)，就可以得到B，C的坐標(biāo)．
（2）以O(shè)、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，O、C的坐標(biāo)已知，就可以寫出Q的坐標(biāo)．
（3）過A作AH⊥x軸于H點(diǎn)，可以證出△CAB∽△CMD，得到

AC

MC

=

BC

CD

，
在直角△AHC中，根據(jù)勾股定理得出AC，就可以求出OD的長．
根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)解析式．

解答：解：（1）x²-4x+3=0，得x=3或1，
∵OB＜OC，
∴B（-1，0），C（3，0）；

（2）存在．
Q₁（3，3）或Q2(

3

2

，-

3

2

)；

（3）過A作AH⊥x軸于H點(diǎn)．
則AH=CH=6，∴∠ACB=45°，
同理可證：∠DCM=45°，
∴∠ACB=∠DCM．
又∵∠DMC=∠BAC，
∴△CAB∽△CMD，
∴

AC

MC

=

BC

CD

（1分）
在△AHC中，AC=

AH2+HC2

=6

2

，
同理MC=2

2

，（1分）
∴

4

DC

=

6 2

2 2

，
∴DC=

4

3

，
∴OD=3-

4

3

=

5

3

，D(

5

3

，0)．  （1分）
設(shè)AD的解析式為y=kx+b（k≠0），則

-3k+b=6 5 3 k+b=0

，
∴

k=- 9 7 b= 15 7

，
∴y=-

9

7

x+

15

7

．

點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．運(yùn)用了相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，就可以求出．