Question

如圖，在第一象限內(nèi)作與x軸的夾角為30°的射線OC，在射線OC上取點A，過點A作AH⊥x軸于點H，在拋物線y=x²（x＞0）上取一點P，在y軸上取一點Q，使得P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A有

 

個．

Answer 1

分析：此題應(yīng)分四種情況考慮：
①∠POQ=∠OAH=60°，此時A、P重合，可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點坐標(biāo)；
②∠POQ=∠AOH=30°，此時∠POH=60°，即直線OP：y=

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式可得P點坐標(biāo)，進而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的坐標(biāo)．
③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH；
④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH；

解答：解：①當(dāng)∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=30°，設(shè)A坐標(biāo)為（a，b），
在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°=

3

3

=

b

a

，
設(shè)直線OA的方程為y=kx，把A的坐標(biāo)代入得k=

b

a

=

3

3

，
所以直線OA：y=

3

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：

y= 3 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

，

x= 3 3 y= 1 3

；
故A（

3

3

，

1

3

）；
②當(dāng)∠POQ=∠AOH=30°，此時△POQ≌△AOH；
易知∠POH=60°，則直線OP：y=

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：

y= 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

，

x= 3 y=3

；
故P（

3

，3），那么A（3，

3

）；
③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH；
易知∠POH=60°，則直線OP：y=

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：

y= 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

、

x= 3 y=3

，
故P（

3

，3），
∴OP=2

3

，QP=2，
∴OH=OP=2

3

，AH=QP=2，
故A（2

3

，2）；
④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH；
此時直線OP：y=

3

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：

y= 3 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

、

x= 3 3 y= 1 3

，
∴P（

3

3

，

1

3

），
∴QP=

2

3

3

，OP=

2

3

，
∴OH=QPQP=

2

3

3

，AH=OP=

2

3

，
故A（

2 3

3

，

2

3

）．
綜上可知：符合條件的點A有四個，且坐標(biāo)為：（

3

3

，

1

3

）或（3，

3

）或（2

3

，2）或（

2 3

3

，

2

3

）．
故答案為：4．

點評：此題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法；由于全等三角形的對應(yīng)頂點不明確，因此要注意分類討論思想的運用．