Question

已知，如圖四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，
（1）若S_△DAB=S_△CAB，求證：OD：DB=CO：CA；
（2）若DC∥AB，求證：OB：DB=AO：CA．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點C、D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，根據(jù)平行于同一直線的兩直線互相平行得出CE∥DF．由S_△DAB=S_△CAB，根據(jù)三角形的面積公式得出CE=DF，于是四邊形CDFE是平行四邊形，那么EF∥CD，即AB∥CD，根據(jù)相似三角形的判定得到△OAB∽△OCD，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得出

OB

OD

=

AO

CO

，然后利用比例的性質(zhì)即可證明OD：DB=CO：CA；
（2）由DC∥AB，得出△OCD∽OAB，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得出

OD

OB

=

CO

AO

，然后利用比例的性質(zhì)即可證明OB：DB=AO：CA．

解答：證明：（1）過點C、D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，則CE∥DF．
∵S_△DAB=S_△CAB，
∴

1

2

AB•CE=

1

2

AB•DF，
∴CE=DF，
∵CE∥DF，
∴四邊形CDFE是平行四邊形，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴

OB

OD

=

AO

CO

，
∴

OB

OD

+

OD

OD

=

AO

CO

+

CO

CO

，
∴

DB

OD

=

CA

CO

，
∴OD：DB=CO：CA；

（2）∵DC∥AB，
∴△OCD∽OAB，
∴

OD

OB

=

CO

AO

，
∴

OD

OB

+

OB

OB

=

CO

AO

+

AO

AO

，
∴

DB

OB

=

CA

AO

，
∴OB：DB=AO：CA．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，比例的性質(zhì)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．