Question

（2009•衡陽）如圖，直線y=-x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上任意一點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），過M分別作MC⊥OA于點(diǎn)C，MD⊥OB于D．

（1）當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，你認(rèn)為四邊形OCMD的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化并說明理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？
（3）當(dāng)四邊形OCMD為正方形時(shí)，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動(dòng)，設(shè)平移的距離為a（0＜a＜4），正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為S．試求S與a的函數(shù)關(guān)系式并畫出該函數(shù)的圖象．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-x+4（0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0）用坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)度則：MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)計(jì)算方法計(jì)算即可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OCMD的周長(zhǎng)不發(fā)生變化，總是等于8．
（2）先用x表示四邊形的面積S_{四邊形OCMD}=-（x-2）²+4，再利用四邊形OCMD的面積是關(guān)于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x（0＜x＜4）的二次函數(shù)，并且x=2，可知即當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OCMD的面積最大且最大面積為4．
（3）結(jié)合（ 2 ），當(dāng)0＜a≤2時(shí)，S=4-a²=-a²+4；當(dāng)2≤a＜4時(shí)，S=（4-a）²=（a-4）²，作圖即可．注意該圖是分段函數(shù)．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-x+4（0＜x＜4，-x+4＞0），
則：MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，
∴C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8，
∴當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OCMD的周長(zhǎng)不發(fā)生變化，總是等于8．

（2）根據(jù)題意得：S_{四邊形OCMD}=MC•MD=（-x+4）•x=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴四邊形OCMD的面積是關(guān)于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x（0＜x＜4）的二次函數(shù)，并且當(dāng)x=2，
即當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OCMD的面積最大且最大面積為4．

（3）如圖（ 2 ），當(dāng)0＜a≤2時(shí)，S=4-a²⁼-a²+4，
如圖（3），當(dāng)2≤a＜4時(shí)，S=（4-a）²=（a-4）²，
∴S與a的函數(shù)的圖象如下圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合四邊形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，有關(guān)函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，要利用幾何圖形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)把數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合在一起，利用題中所給出的面積和周長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系求解．