Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與直線y=-x+b交于A，C兩點，與x軸交于點A，B．點P為直線AC下方拋物線上的一個動點（不包括點A和點C），過點P作PN⊥AB交AC與點M，垂足為N，連接AP，CP．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求b的值；
（2）用含m的代數(shù)式表示線段PM的長并寫出m的取值范圍；
（3）求△PAC的面積S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求使得△APC面積最大時，點P的坐標(biāo)；
（4）直接寫出當(dāng)△CMP為等腰三角形時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）拋物線解析式令y=0求出方程的解，確定出A與B坐標(biāo)，把A坐標(biāo)代入直線解析式求出b的值即可；
（2）把P橫坐標(biāo)m代入拋物線解析式表示出NP，代入直線解析式表示出MN，由NP-MN表示出MP，并求出x的取值范圍；
（3）過C作CE⊥x軸，S_△APC=S_△AMP+S_△CMP，根據(jù)AE為定值，得到MP最大時，S_△APC最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出此時m的值，進而確定出P坐標(biāo)；
（4）分三種情況考慮：MC=PC；MP=MC；PM=PC時，分別求出滿足題意的點P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）令x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
即A=（-1，0），B（3，0），
把A（-1，0）代入y=-x+b，得b=-1，
則一次函數(shù)解析式為y=-x-1；

（2）把x=m代入拋物線解析式得：y=m²-2m-3，
把x=m代入直線解析式得：y=-m-1，
∴NP=-（m²-2m-3），MN=-（-m-1），
∴MP=NP-NM=-（m²-2m-3）+（-m-1）=-m²+m+2，
m的取值范圍是-1＜m＜2；

（3）過點作CE⊥AB于點E，
則S_△APC=S_△AMP+S_△CMP=

1

2

MP•AN+

1

2

MP•NE=

1

2

MP•AE=-

3

2

m²+

3

2

m+3，
∵-1＜0，開口向下，
∴當(dāng)m=-

b

2a

=

1

2

時，S_△APC面積最大，
此時P（

1

2

，-

15

4

）；

（4）分三種情況：①當(dāng)P為拋物線頂點時，
此時MC=PC，△CMP為等腰三角形，
P點坐標(biāo)為P₁（1，-4）；
②當(dāng)P為C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點時，
此時MP=MC時，△CMP為等腰三角形，
∵點C（2，-3），對稱軸為：x=1，
∴點P坐標(biāo)為P₂（0，-3）；
③當(dāng)P為MC的垂直平分線上點時，
此時PM=PC，△CMP為等腰三角形，
P₃（

2

-1，2-4

2

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)與x軸的交點，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．