Question

有邊長為1的等邊△ABC和頂角為120°的等腰△DBC，以D為頂點作60°的角，兩邊分別交于AB、AC于M、N，連結(jié)MN，求△AMN的周長？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：要求△AMN的周長，根據(jù)題目已知條件無法求出三條邊的長，只能把三條邊長用其它已知邊長來表示，所以需要作輔助線，延長AB至F，使BF=CN，連接DF，通過證明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，從而得出MN=MF，△AMN的周長等于AB+AC的長．

解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°，
∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
延長AB至F，使BF=CN，連接DF，
在△BDF和△CND中，
∵

BF=CN ∠FBD=∠DCN DB=DC

，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，
∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠BDM+∠BDF=60°，
在△DMN和△DMF中，
∵

DM=MD ∠FDM=∠MDN DF=D

，
∴△DMN≌△DMF（SAS）
∴MN=MF，
∴△AMN的周長是：
AM+AN+MN
=AM+MB+BF+AN
=AB+AC
=1+1
=2．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)；主要利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)來證明三角形全等，構(gòu)造另一個三角形是解題的關(guān)鍵，注意：三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．