Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（-6，0）、點C（0，4），四邊形OABC是矩形，以點O為圓心的⊙O過點D（，0），點P從點O出發(fā)，沿O-C-B-A以1厘米/秒的速度運動，直線l為AP的垂直平分線，垂足為E，設運動時間為t秒．
（1）當t為何值時，AP與⊙O相切？
（2）請你探究當直線l與⊙O相切時t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設AP與⊙O相切于點H，如圖，連接OH，則OH⊥AP，求得AH，再由△AHO∽△AOP得，即可得出OP；從而求出t的值；
（2）設直線l與⊙O相切于點F，分兩種情況討論：①當P在OC上時，如圖，連接OF，設OG=x，AE=y，則AG=6-x，AP=2y．由△OFG∽△AEG，和由△AEG∽△AOP即可得出t；②當P在AB上時，如圖，AE=OQ=，則AP=2AE=，從而得出t，即直線l與⊙O相切；③當P在BC上時，則連接AP，做它的中垂線，是和圓相離，故不成立．
解答：（1）設AP與⊙O相切于點H，如圖，
連接OH，則OH⊥AP，
∴AH==，
由△AHO∽△AOP得，
∴，
則OP=，
∴．

（2）①設直線l與⊙O相切于點F，當P在OC上時，如圖，連接OF，
設OG=x，AE=y，則AG=6-x，AP=2y．
由△OFG∽△AEG，得，即，
由△AEG∽△AOP得，即，解得，
（或△OFG∽△AOP得，即）
∴OP==，即．
②當P在AB上時，如圖，AE=OQ=，∴AP=2AE=，．
③當P在BC上時，則連接AP，做它的中垂線，是和圓相離，故不成立．
綜上，當或時，直線l與⊙O相切．

點評：本題是一道綜合題，考查了切線的判定和性質(zhì)、坐標和圖形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，難度較大．