Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點F在BC延長線上，且CF=AC，AF與DC交于點E．求：
（1）CF的長度；    
（2）∠AEC的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AC，即可求出答案；
（2）求出∠ACB=45°，求出∠F=22.5°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠AEC=∠F+∠DCF，代入求出即可．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
由勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=

12+12

=

2

，
∵CF=AC，
∴CF=

2

．

（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠D=90°，
∴∠ACB=

1

2

∠DCB=

1

2

×90°=45°，∠DCF=90°，
∵AC=CF，
∴∠F=∠CAF，
∵∠F+∠CAF=∠ACB=45°，
∴∠F=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠AEC=∠F+∠DCF=22.5°+90°=112.5°．
答：∠AEC的度數(shù)是112.5°．

點評：本題考查了正方形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生靈活運用正方形性質(zhì)進行推理和計算的能力，本題是一道比較好的題目，難度也不大．