Question

如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為2km和7km，且張、李二村莊相距13km．
（1）水泵應(yīng)建在什么地方，可使所用的水管最短？請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)出水泵站的位置；
（2）如果鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米2000元，為使鋪設(shè)水管費(fèi)用最節(jié)省，請(qǐng)求出最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為多少元？

Answer 1

解：（1）作點(diǎn)A關(guān)于河邊所在直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，
則點(diǎn)P為水泵站的位置，此時(shí)，PA+PB的長(zhǎng)度之和最短，即所鋪設(shè)水管最短；

（2）過B點(diǎn)作l的垂線，過A′作l的平行線，
設(shè)這兩線交于點(diǎn)C，則∠C=90°．
又過A作AE⊥BC于E，
依題意BE=5，AB=13，
∴AE²=AB²-BE²=13²-5²=144．
∴AE=12．
由平移關(guān)系，A′C=AE=12，
△BA′C中，∵BC=7+2=9，A′C=12，
∴A′B²=A′C²+BC²=9²+12²=225，
∴A′B=15．
∵PA=PA′，
∴PA+PB=A′B=15．
∴2000×15=30000（元）．
分析：（1）作點(diǎn)A關(guān)于河邊所在直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，則點(diǎn)P為水泵站的位置；
（2）利用了軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)即可求解．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了最短路線問題；作出輔助線，構(gòu)造出最短路線為斜邊的直角三角形是解決本題的難點(diǎn)．