Question

【題目】如圖1,直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),OC平分∠AOB交AB于點(diǎn)C,點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE//OC交y軸于點(diǎn)E,已知AO=m,BO=n,且m、n滿足n2-12+36+|n-2m|=0.

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)?
（2）若點(diǎn)D為AB中點(diǎn),求OE的長(zhǎng)?
（3）如圖2,若點(diǎn)P(x,-2x+6)為直線AB在x軸下方的一點(diǎn),點(diǎn)E是y軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn),以E為直角頂點(diǎn)作等腰直角△PEF,使點(diǎn)F在第一象限,且F點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)始終相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】
（1）解：∵

∴

∵ ，

∴ ,

∴ m=3，n=6

∴點(diǎn)A為（3,0），點(diǎn)B為（0,6）

（2）解：延長(zhǎng)DE交x軸于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使得DG=DF，連接BG

設(shè)OE=x

∵OC平分∠AOB

∴∠BOC=∠AOC=45°

∵DE∥OC

∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°

∴OE=OF=x

在△ADF和△BDG中

∵

∴△ADF≌△BDG（SAS）

∴BG=AF=3+x，∠G=∠AFE=45°

∴∠G=∠BEG=45°

∴BG=BE=6-x

∴6-x=3+x

解得：x=1.5

∴OE=1.5

（3）解：分別過(guò)點(diǎn)F、P作FM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N

設(shè)點(diǎn)E為（0，m）

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-2x+6）

則PN=x，EN=m+2x-6

∵∠PEF=90°

∴∠PEN+∠FEM=90°

∵FM⊥y軸

∴∠MFE+∠FEM=90°

∴∠PEN=∠MFE

在△EFM和△PEN中

∵

∴△EFM≌△PEN（AAS）

∴ME=NP=x，F(xiàn)M=EN=m+2x-6

∴點(diǎn)F為（m+2x-6，m+x）

∵F點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等

∴m+2x-6=m+x

解得：x=6

∴點(diǎn)P為（6，-6）

【解析】（1）根據(jù)題意得到平方+絕對(duì)值=0，由平方和絕對(duì)值的非負(fù)性，得到n-6=0，n-2m=0；得到點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)，再由SAS得到△ADF≌△BDG，得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，求出OE的值；（3）根據(jù)圖形和已知條件，由AAS得到△EFM≌△PEN，得到對(duì)應(yīng)邊相等，由F點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).