Question

    已知拋物線的對稱軸為直線，且與x軸交于A、B兩點．與y軸交于點C．其中AI(1，0)，C(0，)．

（1）（3分）求拋物線的解析式；

（2）若點P在拋物線上運動（點P異于點A）．

    ①（4分）如圖l．當(dāng)△PBC面積與△ABC面積相等時．求點P的坐標(biāo)；

②（5分）如圖2．當(dāng)∠PCB=∠BCA時，求直線CP的解析式。

Answer 1

解：（1）由題意，得，解得

∴拋物線的解析式為。

（2）①令，解得  ∴B（3, 0）

當(dāng)點P在x軸上方時，如圖1，

過點A作直線BC的平行線交拋物線于點P，

易求直線BC的解析式為，

∴設(shè)直線AP的解析式為，

∵直線AP過點A（1,0），代入求得。

∴直線AP的解析式為

解方程組，得

∴點

當(dāng)點P在x軸下方時，如圖1

設(shè)直線交y軸于點，

把直線BC向下平移2個單位，交拋物線于點，

得直線的解析式為，

解方程組，得

∴

綜上所述，點P的坐標(biāo)為：，

②∵

∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°

設(shè)直線CP的解析式為

如圖2，延長CP交x軸于點Q，

設(shè)∠OCA=α，則∠ACB=45°α

∵∠PCB=∠BCA  ∴∠PCB=45°α

∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°α）=α

∴∠OCA=∠OQC

又∵∠AOC=∠COQ=90°

∴Rt△AOC∽Rt△COQ

∴，∴，∴OQ=9，∴

∵直線CP過點，∴

∴

∴直線CP的解析式為。

其它方法略。