Question

如圖，已知∠ABC=90°，點(diǎn)P為射線(xiàn)BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABE和△APQ，連接QE并延長(zhǎng)交BP于點(diǎn)F．
（1）試說(shuō)明：∠AEQ=90°；
（2）猜想EF與圖中哪條線(xiàn)段相等（不能添加輔助線(xiàn)產(chǎn)生新的線(xiàn)段），并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠EAQ，根據(jù)SAS證△BAP≌△EAQ，推出∠AEQ=∠ABC=90°；
（2）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠ABE=∠AEB=60°，根據(jù)∠ABC=90°=∠AEQ求出∠BEF=∠EBF=30°，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵△ABE和△APQ是等邊三角形，
∴AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，
∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，
∴∠BAP=∠EAQ，
在△BAP和△EAQ中

AB=AE ∠BAP=∠EAQ AP=AQ

∴△BAP≌△EAQ（SAS），
∴∠AEQ=∠ABC=90°；

（2）解：EF=BF，
理由是：∵△ABE是等邊三角形，
∴∠ABE=∠AEB=60°，
∵∠ABC=90°=∠AEQ，
∴∠BEF=180°-90°-60°=30°，∠EBF=90°-60°=30°，
∴∠EBF=∠BEF，
∴EF=BF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用．