Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A，B，四邊形ABCD是正方形，反比例函數(shù)y=

k

x

在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)D．
（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)，以及反比例函數(shù)的解析式；
（2）若K是雙曲線上第一象限內(nèi)的任意點(diǎn)，連接AK、BK，設(shè)四邊形AOBK的面積為S；試推斷當(dāng)S達(dá)到最大值或最小值時(shí)，相應(yīng)的K點(diǎn)橫坐標(biāo)；并直接寫出S的取值范圍．
（3）試探究：將正方形ABCD沿左右（或上下）一次平移若干個(gè)單位后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在雙曲線上的方法．

Answer 1

分析：（1）過D作DM⊥OA于M點(diǎn)，根據(jù)題中條件先求出AM和DM的值，繼而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，繼而代入反比例函數(shù)即可；
（2）將四邊形AOBK的面積表示出來(lái)為：S_{四邊形AOBK}=S_△BOA+S_△BKA且S_△BOA=1，又S_△BKA=0.5×

5

×KH，其大小與KH有關(guān)，繼而通過求HK的最大最小值，來(lái)判斷S的取值范圍；
（3）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而求出相同橫縱坐標(biāo)時(shí)，反比例函數(shù)上的值，即可得出平移規(guī)律．

解答：解：（1）過D作DM⊥OA于M點(diǎn)，

由題意得，AB=AD，∠AOB=∠AMD，
又∵∠DAM+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAM，
可證得：RT△BAO≌RT△ADM，（1分）
∵A（1，0），B（0，2），
∴DM=OA=1，AM=OB=2，
則：OM=3，D（3，1），（1分）
反比例函數(shù)解析式為：y=

3

x

                     （1分）
（2）過K分別作KH⊥BA于H，直線l∥AB，
∵S_{四邊形AOBK}=S_△BOA+S_△BKA且S_△BOA=1，又S_△BKA=0.5×

5

×KH，
設(shè)直線l為：y=-2x+b 且b＞2，
∴S_{四邊形AOBK}的大小與線段HK的大小有關(guān)，（1分）
要使HK最小，則直線l與雙曲線y=

3

x

在第一象限只有唯一交點(diǎn)K，
故：方程-2x+b=

3

x

有唯一實(shí)根，
∴2x²-bx+3=0中△=b²-24=0，
又∵b＞2，則：b=2

6

，
∴S_△BKA最小時(shí)K的坐標(biāo)為（

6

2

，

6

），
（橫坐標(biāo)計(jì)算正確即可得3分）
且直線KH為：y=

1

2

x+

3 6

4

，故又得：當(dāng)HK最小時(shí)，H的橫坐標(biāo)為：

4

5

-

3 6

10

，
∴HK最小值為|

6

2

-（

4

5

-

3 6

10

）|×

5

2

=

2 5

5

（

6

-1），
即S_△BKA的最小值為

6

-1；
而可知：HK無(wú)最大值；
∴S無(wú)最大值，且當(dāng)K的橫坐標(biāo)為

6

2

時(shí)，S達(dá)到最小值，
所以，S的取值范圍為：S≥

6

．（不考慮過程，S范圍直接給定正確得2分）
（3）過C作CN⊥BO于N，
可得：CN=BO=2，BN=OA=1，
∴C（2，3），（1分）
又∵函數(shù)y=

3

x

中，當(dāng)x=2時(shí)，y=1.5；當(dāng)y=3時(shí)，x=1；                          （1分）
∴把正方形ABCD向左平移1個(gè)單位或向下平移1.5個(gè)單位，
能使點(diǎn)C恰好移動(dòng)到雙曲線y=

3

x

上．                                        （1分）

點(diǎn)評(píng)：此題是一道反比例函數(shù)的綜合題，涉及到函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、圖形面積的求法以及平移的相關(guān)知識(shí)，注意這些知識(shí)的熟練掌握及靈活運(yùn)用，難度較大．