Question

如圖，梯形ABCD中AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且AE=2cm；點(diǎn)F為AD上一動(dòng)點(diǎn)，以EF為邊作菱形EFGH，且點(diǎn)H落在邊BC上，點(diǎn)G在梯形ABCD的內(nèi)部或邊CD上，設(shè)AF=x
（1）直接寫出腰CD的長(zhǎng)與∠DCB的度數(shù)；
（2）在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)x的值，使得四邊形EFGH為正方形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）若菱形EFGH的頂點(diǎn)G恰好在邊CD上，則求出點(diǎn)G在CD上的位置和此時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，可得四邊形ABMD是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等求出DM=AB，BM=AD，然后求出CM，判斷出△CDM的等腰直角三角形，然后等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得EF=EH，根據(jù)同角的余角相等求出∠AEF=∠BHE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△BHE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=AF，再根據(jù)AB=AE+BE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（3）過點(diǎn)G作GP⊥BC于P，根據(jù)兩邊分別互相平行的兩個(gè)角相等（或互補(bǔ)）可得∠AEF=∠PGH，根據(jù)菱形的四條邊都相等可得EF=GH，然后利用“角角邊”證明△AEF和△PGH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PG=AE，HP=AF，然后表示出CP、BH，在Rt△AEF和Rt△BEH中，利用勾股定理列式表示出EF²和EH²，然后列出方程求解即可．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，
∵AD∥BC，AB⊥CB，
∴四邊形ABMD是矩形，
∴DM=AB=6cm，BM=AD=8cm，
∴CM=BC-BM=14-8=6cm，
∴DM=CM，
∴△CDM是等腰直角三角形，
CD=

2

CM=6

2

cm，∠DCB=45°；

（2）∵四邊形EFGH為正方形，
∴EF=EH，∠FEH=90°，
∴∠AEF+∠BEH=90°，
∵AB⊥CB，
∴∠BEH+∠BHE=90°，
∴∠AEF=∠BHE，
在△AEF和△BHE中，

∠AEF=∠BHE ∠A=∠B=90° EF=EH

，
∴△AEF≌△BHE（AAS），
∴BE=AF=x，
∵AB=AE+BE=6cm，
∴2+x=6，
解得x=4cm；

（3）如圖，過點(diǎn)G作GP⊥BC于P，
在菱形EFGH中，EF∥GH，EF=EH=GH，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠PGH，
在△AEF和△PGH中，

∠AEF=∠PGH ∠A=∠GPH=90° EF=GH

，
∴△AEF≌△PGH（AAS），
∴PG=AE=2，HP=AF=x，
∵∠C=45°，
∴CP=PG=2，BH=14-x-2=12-x，
在Rt△AEF中，EF²=AE²+AF²=2²+x²，
在Rt△BEH中，EH²=BE²+BH²=（6-2）²+（12-x）²，
∵EF=EH，
∴2²+x²=（6-2）²+（12-x）²，
解得x=6.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形綜合題型，主要涉及梯形的求解，關(guān)鍵在于作出合適的輔助線，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，（3）作輔助線構(gòu)造出全等三角形，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．