Question

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，連接BM．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在AC、AB上時，請判斷△BMD的形狀．
（2）如圖2，點(diǎn)D在AB上，連接DM，并延長DM交BC于點(diǎn)N，探究BD與BM的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
（3）如圖3，點(diǎn)D不在AB上，（2）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出BM=DM=

1

2

CE，即可得出答案；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知BD=

2

BM，
（3）先證明△MDE≌△MFC，得出AD=ED=FC，再作AN⊥EC于點(diǎn)N，證出△DBF是等腰直角三角形，根據(jù)點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，得出△BMD是等腰直角三角形，即可得出BD=

2

BM．

解答：解：（1）△BMD是等腰三角形，
理由是：∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴∠EDC=90°，
∵點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，
∴BM=

1

2

CE，DM=

1

2

CE，
∴BM=DM，
∴△BMD是等腰三角形；

（2）BD=

2

BM，
證明：∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴ED∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中

∠DEM=∠NCM EM=CM ∠EMD=∠NMC

∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，
∴BM⊥DM，∠DBM=

1

2

∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD為等腰直角三角形．
∴BD=

2

BM；

（3）結(jié)論成立．
證明：過點(diǎn)C作CF∥ED，與DM的延長線交于點(diǎn)F，連接BF，
可證得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于點(diǎn)N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可證得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，
∵CF∥ED，
∴∠DEN=∠FCM，
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，
則△BMD是等腰直角三角形，
∴BD=

2

BM．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，在本題中需要作輔助線來證明，難度較大．