Question

如圖，已知在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2，DC=3，AD=7，動(dòng)點(diǎn)P在梯形邊AB、BC上，當(dāng)梯形某兩個(gè)頂點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)P能構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)P到AD之距離記為d，則d為________．

Answer 1

0≤d≤2，d=，d=，d=，d=3
分析：分①點(diǎn)P在AB上時(shí)，△APD是直角三角形；②點(diǎn)P在BC上時(shí)，△APD是直角三角形，過點(diǎn)P作AD的平行線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，與CD相交于點(diǎn)F，可得四邊形AEFD是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得EF=AD=7，AE=DF=d，然后根據(jù)△APE和△PDF相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=，再根據(jù)△PBE和△PCF相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=，然后整理出只含有d的一元二次方程，求解即可；③點(diǎn)P在BC上時(shí)，△CDP是直角三角形，過點(diǎn)B作BE⊥CD于E，過點(diǎn)P作PF⊥AD于F，先求出CE，再利用勾股定理列式求出BC，然后利用∠C的正弦列式求出DP，再利用∠PDF的正弦列式求解即可；④點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)．
解答：①點(diǎn)P在AB上時(shí)，△APD是直角三角形，點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)，
∵AB=2，
∴d=AP，0＜d≤2；
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，△PDC即△ADC是直角三角形，點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)．此時(shí)d=ap=0，
綜上所述，0≤d≤2．
②如圖1，點(diǎn)P在BC上時(shí)，△APD是直角三角形，
過點(diǎn)P作AD的平行線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，與CD相交于點(diǎn)F，
則四邊形AEFD是矩形，
∴EF=AD=7，AE=DF=d，
∵∠APD=90°，
∴∠APE+∠DPF=90°，
∵∠PAE+∠APE=90°，
∴∠DPF=∠PAE，
又∵∠E=∠PFD=90°，
∴△APE∽△PDF，
∴=，
設(shè)PE=x，則PF=7-x，
∴=，
∴d²=-x²+7x，
∵AE∥CD，
∴=，
即=，
∴x=7d-14，
聯(lián)立，
消掉x得，50d²-245d+294=0，
解得d₁=，d₂=；
③如圖2，點(diǎn)P在BC上時(shí)，△CDP是直角三角形，
過點(diǎn)B作BE⊥CD于E，過點(diǎn)P作PF⊥AD于F，
則CE=3-2=1，BE=AD=7，
在Rt△BCE中，BC===5，
sin∠C==，
即=，
解得DP=，
∵∠PDF+∠PDC=90°，∠C+∠PDC=90°，
∴∠PDF=∠C，
∴d=PF=DP•sin∠PDF=×=；
④點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)，△ADC是直角三角形，
∴d=CD=3，
綜上所述，d為0＜d≤2，d=，d=，d=，d=3．
故答案為：0＜d≤2，d=，d=，d=，d=3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，綜合題，難點(diǎn)在于根據(jù)點(diǎn)P的位置分情況討論．