Question

如圖，AB∥CD．
（1）如果∠BAE=∠DCE=45°，求∠E的度數(shù)．請將下面解題過程補(bǔ)充完整．
∵AB∥CD（已知）
∴∠BAC+∠DCA=180°（

 

）
∴∠EAC+∠BAE+∠ACE+∠DCE=180°∵∠BAE=∠DCE=45°（已知）
∴∠EAC+

 

+∠ACE+

 

=180°（

 

）
∴∠EAC+∠ACE=

 

∵∠EAC+∠ACE+∠E=180°（

 

）
∴∠E=180°-（

 

）=

 

（2）如果AE、CE分別是∠BAC、∠DCA的平分線，（1）中的結(jié)論還成立嗎？試說明理由．
（3）如果AE、CE分別是∠BAC、∠DCA內(nèi)部的任意射線．求證：∠AEC=∠BAE+∠DCE．

Answer 1

分析：（1）我們可以倒推，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180度?∠E=180°-（∠EAC+∠ACE），根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)?∠EAC+∠ACE=180°-（∠BAE+∠DCE），由此可知∠E=90°；
（2）如果AE、CE分別是∠BAC、∠DCA的平分線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)?∠EAC+∠ACE=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180度，?∠E=180°-（∠EAC+∠ACE）=90°；
（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180度?∠E=180°-（∠EAC+∠ACE），根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)?∠BAE+∠DCE
=180°-（∠EAC+∠AEC）?∠E=∠BAE+∠DCE

解答：解：（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；45°；45°；等量代換；90°；
三角形的內(nèi)角和等于180°；∠EAC+∠ACE；90°．

（2）∵AB∥CD（已知）
∴∠BAC+∠DCA=180°（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∴AE、CE分別是∠BAC、∠DCA的平分線（已知）
∴∠EAC+∠ACE=

1

2

∠BAC+

1

2

∠DCA=90°（角平分線的性質(zhì)）
∵∠EAC+∠ACE+∠E=180°（ 三角形的內(nèi)角和等于180°）
∴∠E=180°-（∠EAC+∠ACE）=90°

（3）∵AB∥CD（已知）
∴∠BAE+∠DCE=180°-（∠EAC+∠AEC）（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∵∠EAC+∠ACE+∠E=180°（ 三角形的內(nèi)角和等于180°）
∴∠E=180°-（∠EAC+∠ACE）
∴∠E=∠BAE+∠DCE（等量代換）

點評：本題重點考查兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，等量代換，三角形內(nèi)角和定理等性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在求證過程中注意于等量之間的代換、準(zhǔn)確地識別圖形．