【題目】在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,將△COD繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1,旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°),連接AC1、BD1,AC1與BD1交于點P.
(1)如圖1,若四邊形ABCD是正方形.
①求證:△AOC1≌△BOD1.
②請直接寫出AC1 與BD1的位置關(guān)系.
(2)如圖2,若四邊形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,設(shè)AC1=kBD1.判斷AC1與BD1的位置關(guān)系,說明理由,并求出k的值.
(3)如圖3,若四邊形ABCD是平行四邊形,AC=6,BD=12,連接DD1,設(shè)AC1=kBD1.直接寫出k的值和AC12+(kDD1)2的值.
【答案】(1)①證明見試題解析;②垂直;(2)AC1⊥BD1, ;(3)25.
【解析】試題分析:(1)①如圖1,根據(jù)正方形的性質(zhì)得OC=OA=OD=OB,AC⊥BD,則∠AOB=∠COD=90°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,則OC1=OD1,利用等角的補(bǔ)角相等得∠AOC1=∠BOD1,然后根據(jù)“SAS”可證明△AOC1≌△BOD1;
②由∠AOB=90°,則∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°,所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°,則∠APB=90°所以AC1⊥BD1;
(2)如圖2,根據(jù)菱形的性質(zhì)得OC=OA=AC,OD=OB=BD,AC⊥BD,則∠AOB=∠COD=90°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,則OC1=OA,OD1=OB,利用等角的補(bǔ)角相等得∠AOC1=∠BOD1,加上,根據(jù)相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1,得到∠OAC1=∠OBD1,由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°,則∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°,則∠APB=90°,所以AC1⊥BD1;然后根據(jù)相似比得到,所以;
(3)與(2)一樣可證明△AOC1∽△BOD1,則,所以;根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OD1=OD,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得OD=OB,則OD1=OB=OD,于是可判斷△BDD1為直角三角形,根據(jù)勾股定理得,所以,于是有.
試題解析:(1)①如圖1,∵四邊形ABCD是正方形,∴OC=OA=OD=OB,AC⊥BD,∴∠AOB=∠COD=90°,∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1,∴OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,∴OC1=OD1,∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1,在△AOC1和△BOD1中,∵OA=OB, , ,∴△AOC1≌△BOD1;
②AC1⊥BD1;
(2)AC1⊥BD1.理由如下:如圖2,∵四邊形ABCD是菱形,∴OC=OA=AC,OD=OB=BD,AC⊥BD,∴∠AOB=∠COD=90°,∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1,∴OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,∴OC1=OA,OD1=OB,∠AOC1=∠BOD1,∴,∴△AOC1∽△BOD1,∴∠OAC1=∠OBD1,又∵∠AOB=90°,∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°,∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°,∴∠APB=90°,∴AC1⊥BD1;∵△AOC1∽△BOD1,∴,∴;
(3)如圖3,與(2)一樣可證明△AOC1∽△BOD1,∴,∴;∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1,∴OD1=OD,而OD=OB,∴OD1=OB=OD,∴△BDD1為直角三角形,在Rt△BDD1中, ,∴,∴.
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【題目】如圖,反比例函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M,分別與AB、BC交于點D、E,若四邊形ODBE的面積為9,則k的值為( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于點R,PS⊥AC于點S,PR=PS,則下列結(jié)論:①點P在∠A的角平分線上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.正確的有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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【題目】等腰三角形的周長為13cm,其中一邊長為3cm,則該等腰三角形的底邊為( )
A. 3cm B. 7cm C. 7cm或3cm D. 7cm或5cm
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【題目】下列選項中,可以用來證明命題“若a>1,則a>1”是假命題的反例是【 】
A. a=-2. B. a==-1 C. a=1 D. a=2
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【題目】如圖,某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD,小李在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60°.沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°,已知山坡AB的坡度i=1: ,AB=10米,AE=15米.(i=1: 是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比)
(1)求點B距水平面AE的高度BH;
(2)求廣告牌CD的高度.
(測角器的高度忽略不計,結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù): ≈1.414, ≈1.732)
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【題目】已知:關(guān)于x的方程kx2﹣(3k﹣1)x+2(k﹣1)=0
(1)求證:無論k為任何實數(shù),方程總有實數(shù)根;
(2)若此方程有兩個實數(shù)根x1,x2,且|x1﹣x2|=2,求k的值.
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【題目】如圖,C為以AB為直徑的⊙O上一點,AD和過點C的切線互相垂直,垂足為點D.
(1)求證:AC平分∠BAD;
(2)若CD=3,AC=3,求⊙O的半徑長.
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