Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是y軸正半軸上的點(diǎn)，BC⊥AC于點(diǎn)C．已知AC=8，BC=3．
（1）線(xiàn)段AC的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是

4

；
（2）點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是

9

．

Answer 1

分析：（1）由在直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，即可求得線(xiàn)段AC的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；
（2）首先取AC的中點(diǎn)E，連接BE，OE，OB，可求得OE與BE的長(zhǎng)，然后由三角形三邊關(guān)系，求得點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離．

解答：解：（1）∵∠AOC=90°，AC=8，
∴線(xiàn)段AC的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是：

1

2

AC=4；

（2）取AC的中點(diǎn)E，連接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，AC=8，
∴OE=CE=

1

2

AC=4，
∵BC⊥AC，BC=3，
∴BE=

BC2+CE2

=5，
若點(diǎn)O，E，B不在一條直線(xiàn)上，則OB＜OE+BE=9．
若點(diǎn)O，E，B在一條直線(xiàn)上，則OB=OE+BE=9，
∴當(dāng)O，E，B三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，OB取得最大值，最大值為9．
故答案為：（1）4，（2）9．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系．此題難度較大，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．