Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，） ，點B在x軸的負半軸上，
∠ABO=30°.

（1）求過點A、O、B的拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使AC+OC的值最��？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（1）中軸下方的拋物線上是否存在一點P，過點P作軸的垂線，交直線AB于點D，線段OD把△AOB分成兩個三角形．使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3 ？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：                   
（1）過點A作AF⊥x軸于點F，
∵∠ABO=30°，A的坐標為（1，），
∴ BF="3" .
∵ OF="1" ,
∴ BO="2" .
∴ B(-2,0).
設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x+2)，代入點A（1, ），得，
∴  …………………………………2分
（2）存在點C.
過點A作AF垂直于x軸于點F，拋物線的對稱軸x=" -" 1交x軸于點E.
當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，AC+OC的值最小.
∵ △BCE∽△BAF,
∴ .
∴
∴C（，）…………………………………4分
（3）存在.
如圖，連結(jié)AO，設(shè)p(x,y)，直線AB為y=kx+b,則

，
∴直線AB為，
 =" " |OB||P|+|OB||D|=|P|+|D|
=.
∵S△AOD= S△AOB-S△BOD =-×2×∣x+∣=-x+.
∴==.  
∴x1=-  , x2=1(舍去).
∴p(-,-)  .
又∵S△BOD =x+,
∴ == .
∴x1=- ,    x2=-2.
P(-2,0)，不符合題意.
∴ 存在，點P坐標是（-，-）. ……………

解析