Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點（DP<CP），∠APB=90°.將ΔADP沿AP翻折得到，PD′的延長線交邊AB于點M，過點B作BN‖MP交DC于點N.

圖1

圖2

（1）求證：；

（2）請判斷四邊形PMBN的形狀，并說明理由；

（3）如圖2，連接AC，分別交PM，PB于點E，F(xiàn).若tan∠PAD=，求的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）是菱形；（3）

【解析】

（1）要證明 ，就需證明= ，根據(jù)矩形ABCD可知AD=BC，

因此需要證明= ，即需要證明△ADP∽△PCB相似，

根據(jù)矩形可知，

在中，可得，

再由，可知，，從而得到，

即可以根據(jù)“兩角相等的兩個三角形相似”來證明和相似。

（2）觀察圖形可發(fā)現(xiàn)四邊形是菱形，

根據(jù)“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”可知，需要先證明四邊形是平行四邊形，再證明其中一組鄰邊相等，由，，根據(jù)“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”即可證明四邊形是平行四邊形，

由翻折形成的兩個全等三角形和得出，

進而根據(jù)，，得出，

再由，得到內(nèi)錯角相等，等量代換為，

根據(jù)“等角對等邊”得出鄰邊和相等，從而說明四邊形是菱形。

（1）證明：∵為矩形，

∴，，

在中，，

∵，，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，即，

∴。

（2）四邊形是菱形。

證明：因為是矩形，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵（翻折），

∴，

∵，

，

∴，

∵，

∴，

于是，

∴，

又∵四邊形是平行四邊形，

∴四邊形是菱形。

（3）（3）設(shè)（），

∵在Rt△APDA中，tan∠PAD=

∴，所以，

∵，

∴，，

∵為矩形，

∴，，

∵（翻折），

∴，

∵，

∴，

于是，

∴，

∵，

所以，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴= ，即CF=AC

∵，（對頂角），

∴，

∴，

∴，即AE=AC

∴ = = ．