Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B是反比例函數(shù)（x＞0，m＞0）圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，過(guò)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AB，AD，DC，CB．已知S_△BDC=2，S_△ABD=8．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）試判斷四邊形ADCB的形狀，并加以證明．

Answer 1

解：（1）由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4知，BD=4．
由，
可得CE=1，即點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，
∴B（4，1）．
將B（4，1）代入，得m=4，
∴反比例函數(shù)的解析式是；

（2）由，可得AE=4，
∴AC=AE+CE=4+1=5，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5．
設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為n，則由點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，可得n=，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，5）；

（3）由（1）（2）得，AE=4，CE=1，，．
∴，
又∠AEB=∠CED=90°，
∴△CED∽△AEB，
∴∠ABE=∠CDE，
∴AB∥CD．
又，，
顯然，AB＞CD．
∴四邊形ADCB是梯形．
分析：（1）根據(jù)B點(diǎn)縱坐標(biāo)和△BDC的面積可求B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)△ABD的面積可求AE的長(zhǎng)，從而得AC的縱坐標(biāo)，代入解析式求橫坐標(biāo)；
（3）根據(jù)線(xiàn)段的長(zhǎng)度證明△DCE∽△BAE，從而得DC∥AB，證明四邊形ADCB為梯形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、結(jié)合有關(guān)圖形的面積求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)以及相似三角形的判定和性質(zhì)、梯形的定義等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，但難度中等．