Question

如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC，BE是中線，AD與BE交于點(diǎn)M．
（1）猜想線段AM與DM的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）請你寫出（1）證明過程中所用到的兩條定理的詳細(xì)內(nèi)容．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：常規(guī)題型

分析：（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BA=BC，∠BAC=∠ABC=60°，再根據(jù)等腰三角形的“三線合一”，由AD⊥BC，BE是中線得到∠BAD=30°，∠ABE=∠CBE=30°，根據(jù)等腰三角形的判定得AM=BM，然后在Rt△BDM中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得BM=2DM，于是有AM=2DM；
（2）可寫出等腰三角形的性質(zhì)定理和含30度的直角三角形的性質(zhì)．

解答：解：（1）AM=2DM．理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵AD⊥BC，BE是中線，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD=30°，∠ABE=∠CBE=30°，
∴AM=BM，
在Rt△BDM中，∵∠DBM=30°，
∴BM=2DM，
∴AM=2DM；
（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高和底邊的中線互相重合；在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．