已知：關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2+（m+2）x-m．
（1）求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)P總是在x軸的上方；
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象與y軸交于A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線與圖象交于另外一點(diǎn)B．若頂點(diǎn)P在第一象限，當(dāng)m為何值時(shí)，△PAB是等邊三角形．
【答案】分析：（1）只要求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正，就能確定頂點(diǎn)P總是在x軸的上方，根據(jù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)公式求解；
（2）根據(jù)圖形可以看出，對(duì)稱軸把等邊三角形分成兩個(gè)全等的30°的直角三角形，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與線段的關(guān)系可以求解．
解答：（1）證明：二次函數(shù)y=-x2+（m+2）x-m中，a=-1，b=m+2，c=-m，
∴頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為==＞0，
∴頂點(diǎn)P總在x軸上方；

（2）解：二次函數(shù)y=-x2+（m+2）x-m與y軸交于點(diǎn)A（0，-m），
頂點(diǎn)P（，），
過(guò)P作PC⊥AB于C，則C（，-m），
因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以＞0，
AC=，PC=，
∵△PAB是等邊三角形，
∴∠PAC=60°，
由tan∠PAC=得=（），
整理得：（m+2）2=2（m+2），
∴m+2=2
∴m=2-2，
即m=2-2時(shí)，△PAB是等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是求出對(duì)稱軸，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后由圖象解答，鍛煉了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：關(guān)于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求證：m取任何實(shí)數(shù)量，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若二次函數(shù)y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
①求二次函數(shù)y1的解析式；
②已知一次函數(shù)y2=2x-2，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y2均成立；
（3）在（2）條件下，若二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-5，0），且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y3≥y2均成立，求二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+2ax+7a-3在-2≤x≤5上的函數(shù)值始終是正的，則a的取值范圍（　�。�
A、a＞
1
2
B、a＜0或a＞
1
14
C、a＞
1
14
D、
1
14
＜a＜
1
2

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+（2k-1）x+k2-1．
（1）若關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2-1=0的兩根的平方和等于9，求k的值，并在直角坐標(biāo)系（如圖）中畫出函數(shù)y=x2+（2k-1）x+k2-1的大致圖象；
（2）在（1）的條件下，設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸從左至右交于A、B兩點(diǎn)．問(wèn)函數(shù)對(duì)稱軸右邊的圖象上，是否存在點(diǎn)M，使銳角△AMB的面積等于3．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（1）、（2）條件下，若P點(diǎn)是二次函圖象上的點(diǎn)，且∠PAM=90°，求△APM的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知一次函數(shù)y1=2x，二次函數(shù)y2=mx2-3（m-1）x+2m-1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y2的頂點(diǎn)為A．
（1）求二次函數(shù)y2的解析式；
（2）將y2左右平移得到y(tǒng)3交y2于P點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作直線l∥x軸交y3于點(diǎn)M，若△PAM為等腰三角形，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）是否存在二次函數(shù)y4=ax2+bx+c，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-5，2），且對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1、y2、y4都有y1≤y4≤y2成立？若存在，求出函數(shù)y4的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：北京模擬題 題型：解答題

已知：關(guān)于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0。
（1）求證：m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若二次函數(shù)y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
①求二次函數(shù)y的解析式；
②已知一次函數(shù)y2=2x-2，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y2均成立；
（3）在（2）條件下，若二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-5，0），且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y3≥y2 均成立，求二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的解析式。

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