Question

（1）如圖（1）所示，已知在△ABC中，O為∠ABC和∠ACB的平分線BO，CO的交點(diǎn)．試猜想∠BOC和∠A的關(guān)系，并說明理由.

（2）如圖（2）所示，若O為∠ABC的平分線BO和∠ACE的平分線CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A的關(guān)系又該怎樣？為什么？

Answer 1

分析：根據(jù)“三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和”和角平分線性質(zhì)，
（1）先列出∠A、∠ABC、∠ACB的關(guān)系，再列出∠BOC、∠OBC、∠OCB的關(guān)系，然后列出

∠ABC和∠OBC、∠ACB和∠OCB的關(guān)系；
（2）先列出∠A、∠ABC、∠ACE的關(guān)系，再列出∠OBC、∠O、∠OCE的關(guān)系，然后列出∠ABC和∠OBC、∠ACE和∠OCE的關(guān)系．

解：（1）∠BOC=∠A+90°．理由如下：

    ∵ 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
又∵ BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，
∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB.

∴ ∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°.
又∵ 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴ ∠BOC=∠A+90°.
（2）∠BOC=∠A．理由如下：
∵ ∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，
又∵ BO，CO分別是∠ABC和∠ACE的平分線，
∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE.
由以上各式可推得∠BOC=∠A．