Question

如圖，把正方形ABCD沿著直線EF對(duì)折，使頂點(diǎn)C落在邊AB的中點(diǎn)M，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，那么折痕EF的長(zhǎng)為

2

5

．

Answer 1

分析：過E點(diǎn)作EH⊥BC于H點(diǎn)，MD′交AD于G點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得FC=FM，ED=ED′，∠D′MF=∠C=90°，∠D′=∠D=90°，且BM=

1

2

AB=

1

2

×4=2，設(shè)MF=x，則BF=4-x，在Rt△BFM中，根據(jù)勾股定理有即x²=（4-x）²+2²，求得x=

5

2

，則MF=FC=

5

2

，BF=4-

5

2

=

3

2

；易證Rt△AGM∽R(shí)t△BMF，則

AM

BF

=

AG

BM

=

MG

MF

，即

2

3 2

=

AG

2

=

MG

5 2

，可求得AG=

8

3

，MG=

10

3

，再設(shè)DE=t，則D′E=t，GE=4-t-

8

3

=

4

3

-t，易證得Rt△D′GE∽R(shí)t△AGM，則

GE

GM

=

D′E

AM

，即

4 3 -t

10 3

=

t

2

，解得t=

1

2

，于是HC=ED=

1

2

，F(xiàn)H=4-

1

2

-

3

2

=2，然后在Rt△EFH中利用勾股定理即可求出EF的長(zhǎng)．

解答：解：過E點(diǎn)作EH⊥BC于H點(diǎn)，MD′交AD于G點(diǎn)，如圖，
∵把正方形ABCD沿著直線EF對(duì)折，使頂點(diǎn)C落在邊AB的中點(diǎn)M，
∴FC=FM，BM=

1

2

AB=

1

2

×4=2，ED=ED′，∠D′MF=∠C=90°，∠D′=∠D=90°，
設(shè)MF=x，則BF=4-x，
在Rt△BFM中，MF²=BF²+BM²，即x²=（4-x）²+2²，
∴x=

5

2

，
∴MF=FC=

5

2

，BF=4-

5

2

=

3

2

，
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∴Rt△AGM∽R(shí)t△BMF，
∴

AM

BF

=

AG

BM

=

MG

MF

，即

2

3 2

=

AG

2

=

MG

5 2

，
∴AG=

8

3

，MG=

10

3

，
設(shè)DE=t，則D′E=t，GE=4-t-

8

3

=

4

3

-t，
易證得Rt△D′GE∽R(shí)t△AGM，
∴

GE

GM

=

D′E

AM

，即

4 3 -t

10 3

=

t

2

，解得t=

1

2

，
∴HC=ED=

1

2

，
∴FH=4-

1

2

-

3

2

=2，
在Rt△EFH中，EH=DC=4，F(xiàn)H=2，
∴EF=

EH2+FH2

=

42+22

=2

5

．
故答案為2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等．也考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定理．