Question

如圖，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，對角線AC、BD交于點E，延長DA、CB交于點F，且∠CAD=60°，DC=DE．
求證：
（1）AB=AF；
（2）A為△BEF的外心（即△BEF外接圓的圓心）．

Answer 1

證明：（1）∠ABF=∠ADC=120°-∠ACD=120°-∠DEC
=120°-（60°+∠ADE）=60°-∠ADE，
而∠F=60°-∠ACF，
因為∠ACF=∠ADE，
所以∠ABF=∠F，所以AB=AF．

（2）四邊形ABCD內(nèi)接于圓，所以∠ABD=∠ACD，
又DE=DC，所以∠DCE=∠DEC=∠AEB，
所以∠ABD=∠AEB，
所以AB=AE．
∵AB=AF，
∴AB=AF=AE，即A是三角形BEF的外心．
分析：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進行證明；
（2）根據(jù)三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等的性質(zhì)只需證明AB=AF=AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定進行證明．
點評：綜合運用了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外心的性質(zhì)．