Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D為圓周上任一點(diǎn)，C是弧BD的中點(diǎn)，CE⊥AB，垂足為E，BD交CE于點(diǎn)F．

（1）求證：；

（2）若，⊙O的半徑為3，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2．

【解析】

試題分析：連接AC，根據(jù)已知條件利用等角對(duì)等邊可以得到CF=BF；作CG⊥AD于點(diǎn)G，先利用HL判定Rt△BCE≌Rt△DCG，推出BE=DG，根據(jù)邊之間的關(guān)系可求得BE的值，再根據(jù)相似三角形的判定得到△BCE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得到BC2=BEAB，這樣便求得BC的值，注意負(fù)值要舍去．

試題解析：（1）連接AC，如圖

∵C是弧BD的中點(diǎn)

∴∠BDC=∠DBC

又∵∠BDC=∠BAC

在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB

∴∠BCE=∠BAC

∠BCE=∠DBC

∴CF=BF；

（2）作CG⊥AD于點(diǎn)G，

∵C是弧BD的中點(diǎn)

∴∠CAG=∠BAC，

即AC是∠BAD的角平分線．

∴CE=CG，AE=AG

在Rt△BCE與Rt△DCG中，

CE=CG，CB=CD

∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）

∴BE=DG

∴AE=AB-BE=AG=AD+DG

即6-BE=2+DG

∴2BE=4，即BE=2

又∵△BCE∽△BAC

∴BC2=BEAB=12

BC=±2（舍去負(fù)值）

∴BC=2．