Question

（2009•襄陽(yáng)）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，△MBC是等邊三角形．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動(dòng)，且∠MPQ=60°保持不變．設(shè)PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）中：
①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以點(diǎn)P、M和點(diǎn)A、B、C、D中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并指出符合條件的平行四邊形的個(gè)數(shù)；
②當(dāng)y取最小值時(shí)，判斷△PQC的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）需證△AMB≌△DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）可證△BPM∽△CQP，，PC=x，MQ=y，BP=4-x，QC=4-y，，即可得出y=-x+4；
（3）應(yīng)考慮四邊形ABPM和四邊形MBPD均為平行四邊形，四邊形MPCD和四邊形APCM均為平行四邊形時(shí)的情況；由（2）中的函數(shù)關(guān)系，可得當(dāng)y取最小值時(shí)，x=PC=2，P是BC的中點(diǎn)，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，∠CPQ=30°，∠PQC=90°．
解答：（1）證明：∵△MBC是等邊三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．（1分）
∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，
∴AM=MD．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC．（2分）
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

（2）解：在等邊△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．（4分）
∴△BPM∽△CQP．
∴．（5分）
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4-x，QC=4-y．（6分）
∴．
∴y=-x+4．（7分）


（3）解：①當(dāng)BP=1時(shí)，則有BPAM，BPMD，
則四邊形ABPM為平行四邊形，
∴MQ=y=×3²-3+4=．（8分）
當(dāng)BP=3時(shí)，則有PCAM，PCMD，
則四邊形MPCD為平行四邊形，
∴MQ=y=×1²-1+4=．（9分）
∴當(dāng)BP=1，MQ=或BP=3，MQ=時(shí)，
以P、M和A、B、C、D中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．此時(shí)平行四邊形有2個(gè)．（10分）
故符合條件的平行四邊形的個(gè)數(shù)有4個(gè)．

②△PQC為直角三角形．（11分）
∵y=（x-2）²+3，
∴當(dāng)y取最小值時(shí)，x=PC=2．（12分）
∴P是BC的中點(diǎn)，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴∠PQC=90°．
∴△PQC是直角三角形．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查平行四邊形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．