Question

如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC＝∠AGF＝90°，它們的斜邊長為2，若?ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合，點E不與點C重合)，設(shè)BE＝m，CD＝n．

(1)請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明．

(2)求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍．

(3)以?ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖2)．在邊BC上找一點D，使BD＝CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證BD²＋CE²＝DE²．

(4)在旋轉(zhuǎn)過程中，(3)中的等量關(guān)系BD²＋CE²＝DE²是否始終成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA　　1分 　　∵∠BAE＝∠BAD＋45°，∠CDA＝∠BAD＋45° 　　∴∠BAE＝∠CDA 　　又∠B＝∠C＝45° 　　∴△ABE∽△DCA　　3分 　　(2)∵△ABE∽△DCA 　　∴ 　　由依題意可知CA＝BA＝ 　　∴ 　　∴m＝　　5分 　　自變量n的取值范圍為1＜n＜2　　6分 　　(3)由BD＝CE可得BE＝CD，即m＝n 　　∵m＝ 　　∴m＝n＝ 　　∵OB＝OC＝BC＝1 　　∴OE＝OD＝－1 　　∴D(1－，0)　　7分 　　∴BD＝OB－OD＝1－(－1)＝2－＝CE，DE＝BC－2BD＝2－2(2－)＝2－2 　　∵BD＋CE＝2BD＝2(2－)＝12－8，DE＝(2－2)＝12－8 　　∴BD＋CE＝DE　　8分 　　(4)成立　　9分 　　證明：如圖，將?ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至?ABH的位置，則CE＝HB，AE＝AH， 　　∠ABH＝∠C＝45°，旋轉(zhuǎn)角∠EAH＝90°． 　　連接HD，在△EAD和△HAD中 　　∵AE＝AH，∠HAD＝∠EAH－∠FAG＝45°＝∠EAD，AD＝AD． 　　∴△EAD≌△HAD 　　∴DH＝DE 　　又∠HBD＝∠ABH＋∠ABD＝90° 　　∴BD＋HB＝DH 　　即BD＋CE＝DE　　12分