Question

如圖，△ABD與△CBD是全等的正三角形，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，P為BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)A、C關(guān)于直線BD對稱，連接DE，CE交BD于點(diǎn)P，則CE的長即為PA+PE的最小值，因?yàn)椤鰽BD是等邊三角形，E為AB的中點(diǎn)，故∠BDE=∠ADE=30°，DE⊥AB，在Rt△ADE中根據(jù)勾股定理可求出DE的長，再由△CBD是正三角形可得出∠CDB=60°，故∠CDE=∠BDE+∠CDB=90°，再根據(jù)勾股定理求出CE的長即可．

解答：解：∵△ABD與△CBD是全等的正三角形，
∴點(diǎn)A、C關(guān)于直線BD對稱，連接DE，CE交BD于點(diǎn)P，則CE的長即為PA+PE的最小值，
∵△ABD是等邊三角形，E為AB的中點(diǎn)，
∴∠BDE=∠ADE=30°，DE⊥AB，
在Rt△ADE中，
DE=

AD2-AE2

=

22-12

=

3

，
∵△CBD是正三角形，
∴∠CDB=60°，
∴∠CDE=∠BDE+∠CDB=90°，
∴△CDE是直角三角形，
∴CE=

CD2+DE2

=

22+( 3 )2

=

7

，即PA+PE的最小值為

7

．
故答案為：

7

．

點(diǎn)評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等邊三角形的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．