Question

如圖，邊長是5的正方形ABCD內(nèi)，半徑為2的⊙M與邊DC和CB相切，⊙N與⊙M外切于點P，并且⊙N與邊DA和AB相切．EF是兩圓的內(nèi)公切線，點E和F分別在DA和AB上，則⊙N的半徑等于

 

，EF的長等于

 

．

Answer 1

考點：相切兩圓的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，作輔助線；設(shè)⊙N的半徑為λ，證明AN=

2

λ，MC=2

2

；根據(jù)題意得到

2

λ+2+λ+2

2

=5

2

，求出λ，即可解決問題．

解答：解：如圖，連接AC、NP、NQ；
由圓和正方形的對稱性及題意得：
點M、N、P均在對角線AC上，
∵⊙N與正方形ABCD相切，
∴NP⊥AP，NQ⊥AQ，而∠A=90°，NP=NQ，
∴四邊形APNQ為正方形；設(shè)⊙N的半徑為λ，
則由勾股定理得：AN=

2

λ；同理可求MC=2

2

；
∵⊙N與⊙M外切于點P，
∴MN=2+λ；由勾股定理得：AC=5

2

，
∴

2

λ+2+λ+2

2

=5

2

，
解得：λ=5-2

2

，
故答案為5-2

2

．
由題意得：∠EAP=∠FAP=45°，AP⊥EF，
∴∠AEP=∠AFP=45°，
∴AE=AF，AP為直角△AEF的斜邊上的中線，
∴EF=2AP=2（λ+

2

λ）=6

2

+2．
故答案為6

2

+2．

點評：該題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運用相切兩圓的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．